Giriş kısmında yazının amacından biraz bahsedeceğim. Dileyenler doğrudan içeriğe atlayabilir.

Soyut cebir matematiğin geniş ve titiz bir alanıdır. Grup teorisi, soyut cebire dahildir. Bu yazı fazla ileriye gitmeyecek. En son bölümde grubun tanımını verdim ve orada bıraktım. Tek amacım, soyut cebirin ve grupların ana fikrine dair okuyucunun kafasında bir fikir belirmesi.

Matematik, işlemlerin uygulandığını görüp bu işlemleri kağıt üzerinde tekrar etmekten ibaret olmamalıdır. Bir konuyla ilk karşılaştığımızda o konu bize lüzumsuz veya erişilmez gözüküyorsa, o konunun güzelliğini takdir edemeyiz. Grup teorisiyle ilk karşılaştığımda kafamda pek bir şey canlanmamıştı. Tanımı ilk okuduğumda aklımda kalmamıştı ve neden grup diye bir şeyin olduğunu anlamamıştım. Bir şeyleri anlamaya, örnekleri tekrar tekrar gördükçe başlamıştım. Bu yazıda da örnek ve açıklamaları, aşağı yukarı kendi öğrendiğim sırada yazdım. Yazının tamamındaki amaç, sonraki bölüme kafanızın bir köşesinde ön hazırlıkla geçmenizi sağlamak. İsterseniz dağınık bir sırada okuyabilirsiniz: Grup tanımını 3. bölümün başında verdim. Eğer bu konuyla ilgileniyorsanız ve daha fazlasına göz atacaksanız, bu yazının giriş minvalinde faydalı olmasını umarım.

Öğrendiğimiz bir bilginin ne kadar aklımızda kaldığı onu öğrenirken harcadığımız çabayla orantılıdır. Bu yüzden yazıdan daha fazla verim alabilmek için bahsedilen simetrileri ve grup aksiyonlarını okurken hayal etmeye çalışın.

Yazının ikinci kısmında verdiğim reel sayıların inşaatı başlı başına bir yazıyı hak eden konu. Bu yazıda sadece ihtiyacım olan grup örneğini verdim ve konuya giriş için üzerinden geçtim. Reel analiz veya soyut cebir ilginizi çekiyorsa kesinlikle o konunun daha fazlasını arayın.

İlginiz için çok teşekkür ederim.

1-) Grup Konsepti ve Grup Örnekleri

Giriş kısmında yazının amacından biraz bahsedeceğim. Dileyenler doğrudan içeriğe atlayabilir.

Gruplar, soyut cebirdeki en temel cebirsel yapılardan biridir. Grup teorisi, grupları inceleyen daldır.

Soyut cebirin temel fikirlerinden birisi, çok sıradan gözüken konseptleri süzerek ve genelleştirerek birçok alanda titizce kullanılabilmesini sağlamaktır. Gruplar matematikte ve doğada çok sık karşımıza çıkar ve bir sürü amaçla kullanılabilir. Grupların en temel fikirlerinden birisi simetri fikrini kodlamaktır.

Simetrinin ne demek olduğunu hayal edin. Ben herhangi bir nesneyi elimde çevirdikten sonra hala aynı duruyorsa bu nesneye simetrik derim. Mesela bir çemberin sonsuz tane simetrisi vardır. Hepimiz konsept olarak simetri hakkında konuşabiliriz.

Gruplar, simetrinin ne demek olduğunu ve birbirinden farklı simetrileri titiz bir şekilde kodlamamıza izin verir.

Simetrik bir insan yüzü hayal edin. Bu yüzü aynada yansıtırsam da tıpatıp aynı görünür. Grup teorisinde bu simetrinin bir ismi vardır: C2

Daha farklı bir simetri üzerinde konuşalım. Herhangi bir düzgün altıgen hayal edin. Bu altıgenin köşelerini sağ üst köşeden başlayarak saat yönünde 1, 2, 3, 4, 5, 6 olarak adlandırın. Sizce bu altıgenin kaç tane simetrisi vardır?

Simetri derken neden bahsettiğimizi bir kez daha netleştirelim. Elimdeki şekil simetrikse, ben bu şekle bahsettiğim operasyonu uyguladıktan sonra da aynı gözükecektir. Bu yüzden altıgenin ilk simetrisi, hiçbir şey yapmamaktır. Eğer elimdeki şekle dokunmazsam, şekil aynı gözükmeye devam eder. Bu simetriye e adını verelim.

Sonrasında altıgenin rotasyon simetrilerinden bahsedebiliriz. Altıgeni 60 derece döndürürsem 1. nokta 2. noktanın yerine gelir, böyle devam eder ve işin sonunda altıgen gene aynı gözükür. Bu simetriye a adını verelim.

Aynı şekilde altıgeni 120, 180, 240 ve 300 derece döndürebiliriz. Bu simetrilere a2, a3, a4 ve a5 adlarını verelim. Altıgeni 360 derece döndürmek hiçbir şey yapmamaya denk.

Rotasyon simetrilerinden sonra, yansıtma simetrilerinden de bahsedebiliriz. Altıgene aynada bakmak altıgenin şeklini değiştirmez. Ya da elimde bir altıgen tuttuğumu ve kendi etrafında takla attırdığımı hayal edin. Bu işlemlerin hepsi, altıgenin üzerine bir doğru çizip şekli o doğruya göre yansıtmaya denktir. Görmesi biraz zor ama altıgenin 6 tane ayna simetrisi vardır:

Giriş kısmında yazınSonuç olarak altıgenin etkisiz eleman da dahil olmak üzere 12 tane simetrisi vardır. Bu simetrileri kodlayan grubun da bir ismi vardır: D6

Kare simetrilerini hayal etmek daha kolaydır. Karenin 8 tane simetrisi vardır: e, 3 tane rotasyon, yatay yansıtma, dikey yansıtma, iki köşegen üzerinden yansıtma. Kare simetrilerini anlatan grubun ismi benzerdir: D4

Genel olarak, iki boyutlu düzgün n-gen cismin 2n tane simetrisi vardır ve o şekil üzerine uygulanabilen gruba Dn ismi verilir. Bütün bu gruplar dihedral gruplar olarak adlandırılır.

Burada simetri tanımımızı tekrar ziyaret etmek istiyorum. Eğer biz simetriden bahsediyorsak şeklin, korunmasını istediğimiz bir özelliği vardır. Mesela az önce altıgeni sadece döndürmeye ve yansıtmaya iznim vardı. Simetrilerde matematiksel anlamda birbiriyle aynı olan şekiller elde edilir. İki şeklin aynı olması için ben ikinci şekli; birinci şekli sadece yerinden oynatarak, döndürerek veya yansıtarak elde edebilmeliyim. Geometride bildiğimiz bir diğer konsept de iki şeklin birbirine benzer olmasıdır. İki şeklin benzer olması için açılarının ve dolayısıyla kenarlarının oranlarının aynı olması gerekir. Üçgenler üzerinden hayal edin. Birbiriyle aynı üçgenler elde etmek için üçgeni sadece kağıt üzerinde hareket ettirebilir veya üçgenin simetrilerini alabilirim. Birbirine benzer üçgenler elde etmek içinse bir tane daha hareket özgürlüğüm olur: Üçgenin boyutunu değiştirmek. Üçgeni kağıtta oynatarak, simetrilerini alarak ve boyutunu değiştirerek birbirine benzer üçgenler elde edebilirdim. Eğer korumak istediğim özellik sadece üçgenin ismi olsaydı bu sefer açıları da değiştirme iznim olacaktı.

Demek istediğim, bir şeklin daha az özelliğini korumak istiyorsak daha fazla hareket özgürlüğümüz olur.

Simetri, sadece şekli döndürmemize ve yansıtmamıza izin veren bir harekettir. Şekli yansıtmak, onu fazladan bir boyutta döndürmekle aynı şeydir. Dikkat edilmesi gereken nokta ben burada simetrinin sadece grup teorisinde işimize yarayan tanımını veriyorum. Benzer bir kapıya çıksa dahi geometride farklı bir simetri tanımı verilebilir. Kavram karmaşası için çok endişelenmenize gerek yok: Matematik, titizlikle işleyen bir daldır. Matematik anlatan kişi, eğer mesela “çivi söküp takma” işlemini de simetriye dahil ediyorsa bunu size en başta söylemek zorundadır. Sadece simetri dendiğinde simetrinin günlük hayatta alıştığımız anlamını hayal edebilirsiniz.

Dihedral gruplar, üzerlerine etki ettikleri şekli sadece döndürmemize ve yansıtmamıza izin verirler. Hareket özgürlüğümüzü biraz kısıtlayalım: Diyelim ki altıgeni sadece döndürme iznimiz var. Yani noktaların oryantasyonu ve noktaların sırası korumak istediğimiz özelliklerden. Bu durumda altıgenin altı tane rotasyonu vardır ve bu etkiyi gösteren grubun yeni bir ismi vardır: C6

Gruplar, sadece şekillerin simetrisini incelemekle kalmaz. Permutasyonlar da gruplarla açıklanabilir. Altıgen yapısını dahi korumak zorunda olmadığımızı düşünelim: Elimde sadece düz bir sırada altı tane nokta vardır ve bunları istediğim gibi sıralayabiliriz. Bu etkiyi gösteren grup 6! = 720 elemana sahip bir permutasyon grubudur ve bir grup adı da vardır: S6ın amacından biraz bahsedeceğim. Dileyenler doğrudan içeriğe atlayabilir.

Grupların Soyutluğu

Grup tanımını henüz vermedim, yazının sonunda vereceğim. Şu ana kadar sadece grup örnekleri gördük. İlerlemeden önce muhtemel bir yanlış anlaşılmayı düzeltmek istiyorum.

Grup dediğimiz şey bu yapılar üzerindeki etkiler değildir. Altıgen simetrileri, D6 grubu değildir. Altıgen simetrileri D6 grubunun etkilerinden biridir. D6 grubu kar tanesi gibi altıgene benzer diğer şekiller üzerinde hatta başka türlü cebirsel yapıların üzerinde de etki edebilir. Biz gruplardan bahsederken grupları somut hareketler olarak ele almayız. Aksine, grupları kendi içlerinde soyut kavramlar olarak inceleriz.

Şöyle düşünün: Ben size herhangi bir doğal sayı söylediğimde aklınızda ne canlanıyor? Size “3” sayısını söylesem aklınızda belli bir nesnenin üç tanesi mi canlanır yoksa soyut bir konsept mi? 3 sayısını hayal edebilmek için özellikle 3 tane bardak veya 3 metre uzunluk mu görmeniz gerekir? Daha önemlisi, 3 sayısıyla toplama çarpma işlemleri yapmak için illa fasulye saymanız mı gerekir?

Hayır, ben size bir sayı söylersem o sayının kendisini hayal edersiniz. Sayı kafanızda soyutlaşmış bir konsepttir ve hem tanecik saymakta hem de uzunluk ölçmekte bu soyut konsept kullanılır. Gruplar için çok benzer bir fikir geçerlidir. Gruplar soyut konseptlerdir ve biz grupları kendi içlerinde inceler, kendi hallerinde üzerlerinde işlemler yaparız. Bahsettiğimiz poligon simetrileri, grupların etki edebilecekleri durumlardan biridir. Ayrıca dediğim gibi, gruplar içinde ve gruplarla birlikte işlemler yapmak mümkündür. Nasıl biz 3 + 2 = 5 işlemini yaparken fasulye hayal etmek yerine soyut konseptleri takip ediyorsak ve bunu çok daha kolay buluyorsak, grup işlemleri de benzer soyut konseptlerle yapılır.

2-) Reel Sayıları İnşa Etmek

Grup tanımını vermeden önce vermek istediğim son bir egzersiz var. Bu egzersiz, reel analizin bel kemiğidir ve soyut cebire giriş olarak da değerlendirilebilir.

Sayı kümelerini hepimiz biliyoruz. Tanım karmaşası olmaması için:

N = {0, 1, 2…} Doğal sayılar

Z = {…-2, -1, 0, 1, 2…} Tam sayılar

Q = {a/b: a, b tam sayılardır ve b 0 değildir} Rasyonel sayılar

R = Reel sayılar

Bu sayıların ne olduğunu biliyoruz ve onlarla çok uzun zamandır işlem yapıyoruz. Fakat bu en temel soruyu cevaplandırmıyor: Neden? Bize öğretilen matematik neden doğru? Ben basit aritmetik yaparken neyi kullanıyorum?

Bir diğer soru: Reel sayılar nedir? Fark ettiğiniz üzere, üstte basit bir tanım vermeyi başaramadım. Hepimiz reel sayıların sayı doğrusunu tamamen doldurduğunu biliyoruz. Fakat doldurmak ne demek ve ben neden böyle bir şey varmış gibi davranabiliyorum? Sayı doğrusunu rasyonel sayılar dolduruyor diyemez miydim? İrrasyonel sayıların varlığını nereden çıkardım? İrrasyonel sayılar da reel uzunluk belirttiği için kağıt üzerinde çizebilirim fakat irrasyonel sayılar üzerinde işlem yaparken bunların doğruluğunu neye dayandırıyorum? Peki neden n/0 diye bir sayı yok? 0’a bölmek çelişki üretir diyecekseniz bu çelişkiler sizce bir tesadüf eseri midir yoksa matematiğin en temeli bana “0’a bölemezsin” diye bağırır mı?

Matematik, zihinsel bir uğraştır ve titizliğe değer verir. Bu yüzden matematiğin en temeli zihnimizde tek bir şüphe veya boşluk kalmaksızın tanımlanmış olmalıdır. Soyut cebir, matematikte bu prensibin en net görüldüğü alt dallardandır. Soyut cebirde “çünkü bariz belli” gibi bir kanıt standartı kullanılamaz. Mesela bana öncelikle sıralamanın ne demek olduğunu en baştan anlatmanız, sonra da 1’in 0’dan büyük olduğunu dahi kanıtlamanız gerekir.

Bu gibi en temel ve herkesin bildiği konuları titizlikle tekrar tanımlamanın bir sürü faydası var. Bunlardan birisi genelleştirme. Soyut cebir alanı, matematikçiler apayrı problemleri çözmek için çok benzer işlemler kullandıklarını fark ettikçe gelişmiştir. Cebirsel yapıları, ikili işlemleri, ikili ilişkileri ve daha birçok benzer konsepti en temel gerçekliklerine süzerek bu konseptleri kendi içlerinde çalışabilir ve çok geniş bir yelpazede uygulayabiliriz. Verdiğim “3 sayısı” analojisine geri dönün. Dolaptan misafire bardak saymak ve terziden metrelik kumaş istemek için farklı sayı konseptleri kullandığımızı hayal edin. Hayatta attığımız her adımda bakkal matematiğini tekrar icat etmemiz gerekirdi.

Bir diğer fayda da matematiğin “doğal” bir özellik kazanmasıdır. Farz edin ki bizim kültürümüz ve tarihimizle hiçbir ilişkisi olmayan, dolayısıyla kendi matematiklerini bağımsızca icat eden bir uzaylı medeniyeti dünyayı ziyarete geldi. Onlara kendi matematiğimizi nasıl öğretiriz? Soruyu zorlaştıralım: Bu uzaylı medeniyeti fizik kurallarının farklı işlediği bir evrenden gelsin. Katı maddeler bulunmadığı için günlük hayatta doğal sayıları kullanma gereği duymasınlar, uzaylı geometrileri bizim dünyamızda asla bulunamasın. Şimdi birbirimizin matematiğini nasıl anlayabiliriz?

Bu sohbetlerden sonra, nihayet konuya girebiliriz: Reel sayılar nedir?

Reel Sayıların Aksiyomları

Aksiyomlar, kısaca, doğru olduğunu kabul ettiğimiz matematiksel yargılardır. Matematik yaptığımız tüm sistemler temelinde birtakım aksiyomlar bulundurur: Her şeyi, bu aksiyomların üzerine inşaat etmişizdir.

Reel sayıları inşaat etmek için 16 tane aksiyom vereceğiz. Bu aksiyomlar, aşağıdaki yapıyı oluşturacak:

(R, +, x, <, 0, 1)

Bu yapının mantık kazanması için, aşağıdakilerden emin olalım:

R, bir kümedir.

+ ve x, bu kümenin elemanlarına etki eden işlemlerdir.

<, bu kümenin elemanları arasında bir sıralama ilişkisi belirtir.

0 ve 1, R kümesinin elemanlarıdır.

Şu an bu işlemler, ilişkiler ve sayılara dair aksiyomlarımdan başka hiçbir şey bilmiyorum.

Reel sayıları oluşturan 16 aksiyom, aşağıdaki gibidir. Uzun bir liste okumanın zevkli olmadığının farkındayım ama birazdan bu aksiyomları daha düzenli olarak yazacağım.

T1	Her a, b ve c için (a + b) + c = a + (b + c)
T2	Her a için 0 + a = a + 0 = a
T3	Her a için öyle bir b vardır ki a + b = b + a = 0
T4	Her a ve b için a + b = b + a
Ç1	Her a, b ve c için (ab)c = a(bc)
Ç2	Her a için 1a = a1 = a
Ç3	0 hariç her a için öyle bir b vardır ki ab = ba = 1
Ç4	Her a ve b için ab = ba
SB	0 ≠ 1
D	Her a, b ve c için a(b + c) = ab + ac
O1	Hiçbir a için a < a olamaz
O2	Her a, b ve c için a < b ve b < c ise a < c
O3	Her a ve b için ya a < b, ya a = b ya da b < a
TO	Her a, b ve c için a < b ise a + c < b + c
ÇO	Her a, b ve 0’dan büyük c için a < b ise ac < bc
SUP	Boş olmayan üstten sınırlı her alt kümenin bir en küçük üst sınırı vardır.

Bu 16 aksiyom, bize reel sayılarla ilgili bilmemiz gereken her şeyi anlatır. Reel sayılarla ilgili tüm bilgilerimiz bu aksiyomların sonucudur.

Bu aksiyomlara biraz dikkatli bakarsak, kendi içlerinde 4 gruba ayırabiliriz:

Cisim Özellikleri: T1, T2, T3, T4, Ç1, Ç2, Ç3, Ç4, SB, D

Tam Sıralamanın Özellikleri: O1, O2, O3

Cisim ve Sıralamanın Tutarlılığı: TO, ÇO

SUP Aksiyomu: SUP

İlk 3 gruptaki aksiyomlar, sıralı cisim dediğimiz bir cebirsel yapıyı oluşturur. Bu aksiyomlar rasyonel sayılar kümesi için de geçerlidir. Reel sayılar sıralı cisim + SUP aksiyomu olarak tanımlanır. SUP aksiyomu rasyonel sayılar için geçerli değildir.

Bu aksiyomların ne dediğini, grup grup inceleyelim.

1. Cisim Özellikleri

İlk olarak reel sayıların a, b ve c elementleri üzerinde toplama ve çarpma işleminin özelliklerini verdik.

Özellikleri yazdığım sırayı vurgulamak istiyorum. Bu özellikleri okumadan bilemeyeceğinizi farz edin. Aksiyomlar toplama ve çarpma için neredeyse aynıdır, sadece Ç3’ün 0 için geçerli olmadığını vurgulamam gerekti.

T1 ve Ç1, birleşme özelliğidir. (a + b) + c = a + (b + c) ve (ab)c = a(bc)

T2 ve Ç2, etkisiz eleman özelliğidir. Bu eleman toplama için 0, çarpma için 1’dir.

T3 ve Ç3, ters eleman özelliğidir. Bir eleman tersiyle birlikte işleme konulduğunda o işlemin etkisiz elemanını verir. a + (-a) = 0 ve a . 1/a = 1. Tanım gereği etkisiz eleman kendisinin tersidir. Bütün reel sayıların toplamaya göre tersi vardır. 0 hariç bütün reel sayıların çarpmaya göre tersi vardır. 0’ın çarpmaya göre tersi yoktur çünkü 0 . a işleminin sonucu asla 1 olmaz.

T4 ve Ç4, değişme özelliğidir. a + b = b + a ve ab = ba

Tekrar ediyorum, aksiyomları verdiğim sıra önemliydi. Listede, etkisiz eleman ve ters eleman aksiyomlarında özellikle bu elemanların işleme yerleştirildiği sıranın önemli olmadığını yazdım. Çünkü o aksiyomları okurken, henüz toplama ve çarpmanın zaten bütün a ve b sayıları için değişme özelliği gösterdiğini bilmiyordunuz. Neden bu dediğimin önemli olduğunu yazının sonunda tekrar açıklayacağım.

T1, T2 ve T3 aksiyomları bir grup oluşturur. T1, T2, T3 ve T4 aksiyomları bir Abel grubu (değişmeli grup) oluşturur.

Çarpma aksiyomları, reel sayılar kümesinde grup oluşturmaz. Toplama aksiyomları üzerine çarpma aksiyomları ve SB, D aksiyomları eklendiğinde bir cisim elde ederiz.

SB ve D aksiyomları, çarpma işleminin toplamayla birlikte nasıl davrandığını açıklar.

2. Tam Sıralama Özellikleri

Şimdiye dek reel sayılar kümesinde birtakım elemanlar olduğunu ve bu elemanlar üzerinde birtakım işlemler yapılabildiğini biliyoruz. Şimdi bu bilgilerimize, reel sayıların sıralı olduğunu da ekleyeceğiz.

İki eleman arasında bir sıralama mevcutsa, bunu küçüktür (<) ilişkisiyle belirtirim. İki eleman arasında bir ilişki belirttiğim için bu konseptin genellemesine ikili ilişki denir. O1, O2 ve O3 aksiyomları bana reel sayılarda ikili ilişkinin nasıl çalıştığını anlatır.

O1 aksiyomu bize hiçbir sayının kendisinden daha küçük olamayacağını söyler. Eşitlik ilişkileri dönüşlülük özelliğine sahiptir: Yani her eleman kendisine eşittir (a = a). Eşitsizlik ilişkileri ise bu özelliğe sahip değildir( asla a < a olamaz). Eğer sıralı cismimi küçük eşittir simgesiyle tanımlasaydım bütün elemanların mutlaka kendilerine küçük eşit olduğunu yazacaktım.

O2 aksiyomu bize geçişlilik özelliğini verir. a < b ve b < c ise a < c. Geçişlilik özelliği, hem eşitlikler hem de eşitsizlikler için geçerlidir.

O3 aksiyomu bize hem anti simetri hem de tam sıralama özelliğini verir. Eşitlik ilişkileri simetri özelliğine sahiptir: a = b ise b = a. Küçüktür simgesi ise simetri özelliğine izin vermiyor: Ya a < b ya a = b ya da b < a, aynı anda doğru olamazlar. Ayrıca bu sıralamanın setteki bütün elemanlar için geçerli olması bana tam sıralama özelliğini veriyor. Herhangi iki rastgele reel sayı için üstteki üç sıralamadan herhangi birini yazabilirim. Eğer kısmi sıralaması olan bir setten bahsetseydik (örn. Alt kümeler ilişkisine göre kuvvet seti) bazı eleman çiftleri sıralanabilir ama bazı çiftler sıralanamaz olurdu.

3. Cisim ve Sıralamanın Tutarlılığı

TO ve ÇO aksiyomları bana reel sayılarda var olan sıralamanın, cisimde tanımlanan işlemler altında da korunduğunu söyler.

Toplama ve çarpma işlemleri, fonksiyon olarak düşünülebilir. Fonksiyona yerleştirdiğim sayı, belli bir sabit ile toplanıyor veya çarpılıyordur. Bu bakış açısıyla bu aksiyomları, çarpma sabiti pozitif reel olmak şartıyla, a < b ise f(a) < f(b) şeklinde yazabiliriz. Bu sıralamaya saygı duymayan fonksiyonlar düşünmek mümkündür.

4. SUP Aksiyomu

SUP aksiyomu şu ana kadar verilen aksiyomlardan biraz farklı. Şimdiye kadarki 15 aksiyom reel sayılar kümesi ve bu kümenin elemanlarıyla ilgiliydi. SUP aksiyomu, R’nin alt kümeleriyle ilgilidir. Ayrıca şimdiye kadarki aksiyomlar rasyonel sayılar için de geçerliyken (kontrol edebilirsiniz) SUP aksiyomu, sadece reel sayılar için geçerlidir.

SUP: Boş olmayan üstten sınırlı her alt kümenin bir en küçük alt sınırı vardır.

Boş kümenin ve alt kümenin tanımlarını biliyoruz. Üst sınırın tanımını verelim.

Bir küme ileriye doğru sonsuza dek gidiyorsa üstten sınırlı değildir. Eğer A kümesinin elemanı olan bütün sayılar s’ye küçük eşittirse s’ye A’nın üst sınırı denir.

Mesela tam sayılar kümesini alalım. Eksi yönünde de artı yönünde de sonsuza dek gider, bu yüzden ne alttan ne de üstten sınırlıdır. Şimdi de 2’den küçük tam sayılar kümesini alalım. 3 sayısı, bu küme için bir üst sınırdır çünkü 2’den küçük olan her sayı zaten 3’ten de küçüktür.

Görüldüğü gibi, bir kümenin birden çok üst sınırı vardır. En küçük üst sınır, bu üst sınırların en küçük olanıdır. Yani s’nin A kümesinin en küçük üst sınırı olduğunu varsayalım. a, A kümesinin elemanı ve e de çok küçük bir pozitif sayı olsun. Ne kadar küçük bir e değeri alırsam alayım s – e’den büyük bir a sayısı bulunmak zorundadır. Eğer s – e’den büyük bir a sayısı bulunmasaydı, kümenin en küçük üst sınırı s – e olurdu.

En küçük üst sınır, kümenin elemanı olabilir de olmayabilir de. Reel sayılarda (-20, 2) ve (-20, 2] alt kümelerini tanımlayalım. İki alt kümenin de en küçük üst sınırı 2’dir. Çünkü 2’den küçük en büyük reel sayı diye bir şey yoktur. Reel sayılar (a,b) aralığı ne kadar küçük olursa olsun o aralıkta sonsuz tane bulunur (a eşit değildir b için). 2’den küçük tam sayılar kümesinin en küçük üst sınırı 1’dir; 2, 3, pi gibi sayılar da bu kümenin başka üst sınırlarıdır.

SUP aksiyomu, rasyonel sayılar kümesine irrasyonel sayıları da ekleyerek reel sayıları elde etmemizi sağlar. Başka kelimelerle bu aksiyom, bizim sayı doğrusunu tamamlamamızı sağlar. Nasılı üzerine düşünelim.

Şu ana kadar öğrendiğim 15 aksiyom üzerinden birkaç yeni tanım türeteceğim. Ben şu ana kadar çarpma işlemini ve rasyonel sayıları zaten biliyorum. x . x işlemine x2 diye hitap edeceğim. Bir tam sayının kendisiyle çarpımı olarak yazılabilecek tam sayılara da tam kare sayılar diyeceğim. x2 tanımını geri sarmak için de karekök diye bir şey tanımlayacağım: x, x2’nin karekökü olacak. Bu yeni tanımlarla hemen rasyonel sayılarda üstten sınırlı bir alt küme alacağım.

A = {q elemanıdır Q: q2 < 2}

Bu küme bariz belli bir şekilde üstten sınırlıdır. Mesela 100 sayısının karesi, 2’den büyüktür.

Rasyonel sayılarla deneyelim biraz. 1, A kümesinin elemanıdır (12 = 1, 1 < 2). 2/3 de A’dadır. 3/2 ise A’da değildir. 3/2, bu kümenin üst sınırlarından biridir çünkü pozitif sayılarda q büyüdükçe q2 de büyüyecek.

Gittikçe deneyerek 3/2’den de daha küçük üst sınırlar bulabilirim. Peki biricik bir en küçük alt sınır bulabilir miyim?

Rasyonel sayılarda hayır, bulamam. Çünkü tanımım itibariyle karesi 2 olan bir sayı, karekök 2 şeklinde yazılır. Bu karekök iki sayısı, eğer öyle bir sayı varsa, A kümesinin elemanı olmaz ama ondan küçük bütün sayılar olur. Karekök ikinin rasyonel olmadığının kanıtı ise basittir.

Karekök iki sayısının varlığı, SUP aksiyomu ile kanıtlanır. Öyle bir sayı vardır ve o sayı, A kümesinin en küçük üst sınırıdır.

SUP özelliğine Dedekind tamlığı da denir. Reel sayıların sayı doğrusunu doldurmasının anlamı budur.

3-) Grup Tanımı ve Grup Teorisi

Yazıyı bu kadar uzattıktan sonra sonunda asıl konuya dönmeyi uygun görüyorum. Şu ana kadar size birkaç kaba grup örneği gösterdim ve soyut cebire giriş olarak verilebilecek bir konunun üzerinden geçtim.

Bir kümenin elemanlarından ve o elemanlar üzerinde tanımlı, 3 tane temel aksiyomu sağlayan bir ikili işlemden oluşan cebirsel yapıya grup denir.

Cebirsel yapı, çok genel bir tanımdır. Gruplar, cisimler, halkalar hep cebirsel yapı örnekleridir. Cebirsel yapılar bir kümenin elemanlarından, o elemanlar üzerindeki birtakım işlemlerden ve bu işlemlerin sağlaması gereken birtakım kurallardan oluşur.

Gruplar, 3 tane temel aksiyomu sağlayan bir tane ikili işlem bulundurur.

İkili işlem, iki tane element üzerinde işleyip sana üçüncü bir sonuç veren operasyonların genel adıdır. Toplama, çarpma, fonksiyon bileşkesi alma ikili işlemlere örnektir.

Grup işleminin sağlaması gereken 3 tane aksiyom vardır. Bunlar:

Grup işlemlerinin sağlaması gereken 0. bir aksiyom daha vardır ve bu kapalılık aksiyomudur. İkili işlem grup kümesinin iki elemanı üzerinde etki ettikten sonra sonuç olarak sana yine grubun bir elemanını getirmelidir.

Reel sayıların, toplama işlemi altında bir grup oluşturduğunu söylemiştik. Aynısı rasyonel sayılar ve tam sayılar için de geçerlidir. Doğal sayılar toplama altında bir grup oluşturmaz çünkü kümede ters eleman bulunmaz.

Çarpma işlemi ise, reel sayılarda bir grup oluşturmaz. Çünkü 0’ın çarpmaya göre tersi yoktur. R/{0} kümesi fakat çarpma altında bir grup oluşturur. Z/{0} kümesi çarpma altında bir grup oluşturmaz çünkü ters elemanlar kümede yoktur.

Bazı gruplar, bu üç aksiyoma ek olarak 4. bir aksiyomu daha sağlar.

4.Değişme Özelliği

a*b = b*a

Bu gruplara değişmeli grup veya Abel grubu denir. Toplama ve çarpma altındaki gruplar, Abel gruplarıdır. Fonksiyon bileşkesi altındaki gruplarsa çoğunlukla Abel grubu değildir.

İlerlemeden önce sindirilmesini istediğim çok önemli bir nokta var. Grupların grup olması için 4. aksiyomu sağlaması gerekmiyor. Değişme özelliği göstermeyen ama birleşme özelliği gösteren ikili işlemler mevcuttur.

Ayrıca bir ikili işlemdeki etkisiz eleman ve ters elemanlar, 4. aksiyomdan bağımsız olarak değişme özelliği gösterir. 4. aksiyom, bütün elemanların değişmeli olduğunu bize söyler.

Etkisiz eleman ve ters elemanın biricikliğinin kanıtları basittir:

e de f de etkisiz eleman olsun.

e = e*f = f

b de c de a’nın ters elemanları olsun.

b = b*e
b = b*(a*c)
b = (b*a)*c
b = e*c
b=c

Bir işlem için yalnızca tek bir etkisiz eleman ve her element için tek bir ters elemanın olması, sağdan ve soldan etki eden etkisiz ve ters elemanların aynı olduğu anlamına gelir.

Simetri Grupları

Peki, sayılarla toplama çarpma yapmanın üstte verdiğim simetri gruplarıyla alakası ne?

Simetri grupları için grup kümesi, simetrilerdir ve grup işlemi, simetrilerin art arda uygulanmasıdır.

Karenin simetrileri üzerinden konuşalım. Karenin 8 tane simetrisi vardır. Bunlar:

Karenin simetrilerini veren grubun adının D4 olduğunu söylemiştik. D4 grubunun kümesinde bu 8 element vardır. Gruplar sonlu veya sonsuz olabilir. Üstte sonsuz sayı kümeleri üzerindeki gruplar sonsuzken, n kenarlı poligonların simetrileri sonlu gruplar oluşturur ve kümelerinde 2n sayıda eleman bulunur.

D4 grubunun elemanları üzerinde etki eden işlem, fonksiyon bileşkesidir. Yani kareye simetriler art arda uygulanır. Bu simetrilerin hepsi, bir fonksiyon olarak düşünülebilir. Çünkü kare üzerindeki noktaları alıp o noktaların yerini ve belki oryantasyonunu değiştiriyor. Bu simetrilerin bileşkesini almak, bize zaten sahip olduğumuz 8 simetriden birini veriyor.

Mesela kareyi önce 90, sonra 180 derece döndürdüğümüzü düşünelim. Bunu, kare üzerindeki aksiyondan bağımsız, soyut bir grup işlemi olarak yazabiliriz.

r1 * r2 = r3

İşin içine yansıtmaları da katalım. Kareyi önce 270 derece döndürüp sonra yatayda yansıtalım. Bu, soldan sağa inen köşegende yansıtmaya denktir.

r3 * f2 = f4

Böyle böyle, D4 grubunun işlem tablosunu çizebiliriz.

Her bir simetriyi sıfırlayıp id’ye döndüren başka bir simetri vardır. Kontrol edilirse işlemin birleşme özelliği gösterdiği ama değişme özelliği göstermediği görülecektir. Bu yüzden D4 grubu Abel olmayan sonlu bir gruptur.

Bitiş

Grup teorisinin yakın zamandaki en büyük başarısı bütün basit ve sonlu grupların sınıflandırılmasıdır. Bu sınıflandırma 2004 yılında tamamlanmıştır ve kanıtı on binlerce sayfa almıştır. Bu sınıflandırmayı, grupların periyodik cetveli gibi düşünebilirsiniz.

Kısaca; basit gruplar, diğer bütün grupların yapı taşıdır. Daha titiz bir tanımla, basit grupların kendileri ve trivial grup dışında bir alt grubu bulunmaz. Bahsi geçen sınıflandırma, 18 tane sonsuz uzunlukta sütuna sahiptir. Birinci sütun devirli gruplar, ikinci sınıf alternatif gruplar ve kalan 16 sütun Lie tipi gruplardır. Bu 18 sütunun hiçbirine uymayan 27 tane daha dağınık grup vardır.

Grup teorisinin bulgularının matematiğin diğer dallarında ve fizikte faydası boldur. En bilinen örneklerden birisi de beşinci dereceden polinomların reel çözümü için sadece basit aritmetik ve kök işareti kullanılarak formül yazılamayacağının kanıtıdır.

Ve bu konuların hepsi çok daha uzun açıklamalar ister.

Grup teorisi matematiğin anlaması en güzel alanlarından biridir. Soyut cebirle bir kere ilgilendikten sonra matematiğin diğer bütün alanlarına bakış açınız değişiyor. Meraklısı için hem titiz akademik anlatılar hem de az önce yazdığım gibi ilginç uygulamalar üzerine zengin içerik bulunmaktadır. Yazarkenki dileğim matematiğin çok görülmeyen ve görülünce de göz korkutan bir alanını bir tık daha erişilebilir bir hale getirmekti. Yazılan hiçbir şey akademik bir ders müfredatının yerini tutmuyor ama eğer ki konuyla ilgilenen bir okuyucu varsa, umarım bu yazı minik bir noktayı da olsa açıklamayı başarmıştır ve siz, ne olursa olsun, buraya kadar okuduğunuzdan pişman değilsinizdir.

Okuduğunuz için çok teşekkür ederim…

Kaynakça

Nesin, A.(2011) Analiz I. Nesin Matematik Köyü Yayınları
Group Names. Erişim Adresi: https://people.maths.bris.ac.uk/~matyd/GroupNames/index.html