Matematikteki soru işaretlerinin pek çoğu, irrasyonel sayılar üzerinedir. Ondalık açılımlarının sonsuza kadar gitmesi bu sayılara yoğunlaşmamızın başlıca nedenidir. Yazımızda irrasyonel sayıların en meşhuru olan pi sayısından bahsedeceğiz.
Nedir Bu Pi?
İnsanlık tarihinin en eski dönemlerinden bu yana hesaplamalara konu olan Pi sayısı, matematik severler tarafından en çok ilgi gören sayıdır desek herhalde yanlış bir cümle kurmuş olmayız. Bu kadar ilgi çekmesinin sırrı ise ondalık açılımının bildiğimiz kadarıyla hiçbir örüntü olmaksızın sonsuza kadar gitmesidir. Çember gibi çok önemli bir geometrik şekil ile doğrudan bağlantılı olması da sayının popülaritesini artırmaktadır.
Pi sayısı, basit ifadeyle çemberin çevresinin çapına oranıdır. Sembolü Yunanca çevre anlamına gelen “περίμετρον” kelimesinin baş harfidir. Bu sembol, Pi için tarihte ilk kez Galli matematikçi ve filolog William Jones tarafından kullanılmıştır fakat o zamanlar yaygın bir kullanımı yoktu. 1737’de Leonhard Euler’in sembolü kullanmasıyla birlikte diğer bütün matematikçiler sayıyı “π” şeklinde göstermeye başlamıştır.
π’nin Tarihçesi:
Sayıyı kimin bulduğu tam olarak bilinmese de hesaplamaların MÖ 2000’li yıllara kadar uzandığını biliyoruz. O zamanlarda insanlar, çevrenin çapa oranının sabit bir değer olduğunu fark etmişler. Elbette bu sabitin değeri bulunur ise çapı bilinen bütün çemberlerin çevresi (2π.r) ve alanı (π.r²) hesaplanabilecektir. Bu noktada sayının önemini kavrayan uygarlıklar π’ye dair hesaplamalarda bulunmuştur. Her uygarlığın kabul ettiği değer ise birbirinden farklıdır. Bu kabullere ve hesaplamalara göz atalım:
Antik Mısır:
Mısırlıların π’ye dair yaptıkları çalışmalar, 19. yüzyılda bulunan bir Mısır papirüsünde karşımıza çıkıyor:
İskoçyalı arkeolog Alexander Henry Rhind, 1858 yılında gerçekleştirdiği bir Mısır gezisinde günümüzde büyük çoğunluğu British Museum’da bulunan Ahmes Papirüsü’nü satın almıştır. Papirüsün önemi -elbette içerisinde pek çok önemli bilgi bulunmaktadır fakat bizi şu an ilgilendiren husus Pi sayısıdır- üzerinde Mısırlıların π hakkındaki hesaplamalarının yer almasıdır. Papirüste yazanlara göre sayı Antik Mısır’da; π = 256/81 = 3,16049383 olarak alınmıştır. İşlemlerde ise kolaylık için 3,1605 kullanılmıştır. Bu değerin günümüzden 4000 yılı aşkın bir süre önce hesaplandığı düşünülürse Antik Mısırlıların hesaplamalarına şapka çıkarmak gerekir.
Babiller:
Kaynaklar Babillilerin işlemlerde π = 3 değerini kullandığını belirtir fakat Eski Babil dönemine ait Susa tabletlerinde π için kabul edilen değerin 3+⅛ yani 3,125 olduğu görülmektedir.
Antik Yunan:
Pi sayısı Antik Yunan’da √10 veya 3,162 olarak kullanılmıştır. Arşimet ise MÖ 200’lü yıllarda π’yi hesaplamak için bir metot geliştirmiştir. Metot, çemberin içine ve dışına çizilen düzgün 96’genler aracılığıyla sayının yaklaşık değerini vermektedir. Arşimet bu hesaplamaları sonucunda π için; 223/71 (3,14084507042) < π < 220/70 (3,14285714286) kısıtlamasını koymuştur. Bu kısıtlama, o dönem için günümüzde kabul edilen değere en yakın tahmindir.
Arşimet; hayatı boyunca fizik, matematik, astronomi, felsefe gibi pek çok alanda önemli işlere imza atmıştır. Bütün hesaplamalarını büyük bir titizlikle yapmıştır fakat geometriye ve Pi sayısına verdiği önem başkadır. Bu durum vefatında karşımıza çıkmaktadır. Rivayet edilir ki Romalılar, Arşimet’in yaşadığı yeri işgal ettiğinde kendisi çemberler ve π hakkında hesaplamalar yapmaktaydı. Hesaplamalarına öyle dalmıştı ki kendisine seslenen bir Romalı askeri fark etmemişti. Defalarca seslenmesine rağmen kendisine yanıt vermeyen adama sinirlenen Romalı asker, Arşimet’e doğru yürüyünce Arşimet askeri görmüş ve dalgınlıkla “Sakın çemberlerime yaklaşmayın!” diye bağırmıştır. O esnada küplere binen asker, Roma kralının “Arşimet’i asla öldürmeyin!” emrine rağmen tarihe yön veren önemli şahsiyetlerden birini oracıkta katletmiştir.
Çin:
Eski zamanlarda Çinliler Pi sayısının 3’ten büyük olduğunu ispatlamışlardır ki bunun ispatı nispeten basittir, hızlıca gösterelim:
Yarıçapı r olan bir çemberin içine köşeleri yay üzerinde olacak şekilde düzgün altıgen çizeriz. Çemberin merkezinden altıgenin köşelerine doğru parçaları çizdiğimizde oluşan eşkenar üçgenlerden ötürü altıgenimizin çevresini 6r buluruz. Çemberin çevresi de altıgenin çevresinden yani 6r’den büyük olacağı için, 2π.r > 6r , π > 3 eşitsizliğini buluruz.
İşte Çinliler de bu eşitsizliğe ulaşmıştır fakat π’nin değeri hakkında farklı görüşler mevcuttur.
Ünlü astronom Zhang Heng 130 yılında π’yi √10 kabul etmiştir. 200’lü yıllara gelindiğinde ise Liu Hui, sayıyı 3,141024 ile 3,142074 arasında bulmuştur. Hesaplamalarında Antik Yunan kısmında bahsettiğimiz Arşimet’in metodundan faydalanmıştır. Bulduğu eşitsizlik Arşimet’in tahminine göre daha doğrudur. Hui, π’yi yaklaşık olarak ise 3,14 kabul etmiş ve kesir olarak 157/50 değerini kullanmıştır. Sonraları kendisi yine düzgün çokgenler kullanarak bir metot geliştirmiş ve π’yi 3,1416 kabul etmiştir. 5.yüzyılın sonlarına gelindiğinde Çin’in önde gelen matematikçilerinden biri olan Zu Chongzi, π için çok önemli hesaplamalarda bulunmuştur. Onun bulduğu eşitsizlik, yaklaşık 900 yıl kadar kullanılmıştır ki o zamanlar için en hassas ve doğru tahmindir. Sayıyı 3,1415926 ile 3,1415927 arasında bulmuştur. Bu tahmin, henüz 5.yüzyıldayken sayının virgülden sonraki 7 basamağının doğru hesaplandığı anlamına gelmektedir. Öyle ki Avrupa’da 16.yüzyıla kadar bundan öteye gidilememiştir. Böyle bir kısıtlamayı nasıl getirdiği ise maalesef bilinmiyor. İnanılmaz hesaplamalarından ötürü bazı matematikçiler π için “Zu Ölçüsü” denilmesini önermişlerdir.
Hindistan:
Ünlü matematikçi Aryabatha, 499 yılında π için 62832 / 20000 = 3,1416 tahmininde bulunmuştur. Brahmagupta ise 7.yüzyıl ortalarında sayıyı Çinli Zhang Heng’in de bulduğu gibi √10 yani yaklaşık olarak 3,1622 kabul etmiştir.
Diğer:
15.yüzyıl başlarında İslam bilim tarihine damga vuran ünlü matematikçi Gıyaseddin Cemşid (el-Kaşi) Arşimet’in yöntemini kullanarak sayının virgülden sonraki 14 basamağını doğru hesaplamıştır. Bu, o zamana kadar Çinli Zu Chongzi’ye ait olan 7 basamak rekorunu 2 katına çıkardığı anlamına gelmektedir ve el-Kaşi yaklaşık 2 asır boyunca rekoru elinde tutmuştur.
16.yüzyıl sonlarına doğruysa Hollandalı Adriaan van Roomen π’nin virgülden sonraki 16 basamağını hesaplamıştır ve rekoru geliştirmiştir. Roomen’in vatandaşı ve arkadaşı Alman- Hollandalı matematikçi Ludolph van Ceulen ise hayatının neredeyse tamamını π’yi hesaplamaya adamıştır. Yine o da Arşimet’in yöntemini kullanmış ve π’nin virgülden sonraki 20 basamağını doğru hesaplamıştır. İlerleyen zamanlarda hesaplamalarını 30 haneye kadar ilerleten van Ceulen, arkadaşına ait olan rekorun yeni sahibi olmuştur. Harika hesaplamalarından ötürü Pi sayısı Avrupa’nın bazı ülkelerinde “Ludolph Sabiti” olarak bilinir.
İlerleyen yıllarda Leonhard Euler, James Gregory, Gottfried Leibniz gibi saymakla bitmeyecek kadar matematikçi bu rekoru sürekli biraz daha geliştirmiş ve yeni yöntemler kullanmıştır. 1761 yılında Johann Heinrich Lambert, sayının irrasyonel olduğunu göstermiş; 1882’de ise Ferdinand van Lindemann, π’nin aşkın bir sayı olduğunu ispatlamıştır. Lindemann’ın bu ispatı, katsayıları tam sayı olan bir polinomun ‘π’ kökünün olamayacağını ifade eder.
Tüm bu hesaplamalar ve yeni ispatlar, sayıya olan ilgiyi iyiden iyiye artırmıştır. Öyle ki günümüz teknolojisi ile π’nin trilyonlarca basamağı hesaplanabilmiştir. Henüz geçtiğimiz yılın ağustos ayında İsviçreli bilim insanları tarafından sayının yaklaşık olarak 63 Trilyon basamağı hesaplanmıştır. Tahmin edebileceğiniz üzere bu basamaklarda herhangi bir örüntü veya kural şu ana kadar bulunamamıştır.
Peki π’yi Bu Kadar Önemli Kılan Ne?
İnsanoğlu yaratılışı gereği, bilgisinin yetersiz olduğu konuları merak eder. Başka bir deyişle bilinmeyen bir konuyu bilebileceğini gösterme eğilimindedir.
Bu durum matematikte kendisini irrasyonel sayılarda gösterir. Bildiğiniz gibi irrasyonel sayıların ondalık açılımları sonsuza kadar gitmektedir ki insanın aklı sonsuz kavramını algılamakta oldukça zorlanır. İnsanüstü bir kavramdır sonsuz. Üstüne üstlük bu sonsuzluk herhangi bir kural veya örüntü içermiyorsa…
Örneğin;
π = 3,141592653589793… sonsuza gittiği gibi,
X = 0,1111111111… gibi bir sayı da sonsuza gitmektedir.
X diye tanımladığımız sayı hiç şüphe yok ki π kadar gösterişli değildir.
İşte bu tarz, ondalık açılımında hiçbir örüntü içermeyen sayılar insanların ilgisini fevkalade çekmektedir. Öyle ki asırlardır üzerinde araştırmaların yapıldığı Pi sayısının ondalık açılımında her rakamdan eşit veya eşite yakın sayıda mı bulunuyor? Öne çıkan, diğer rakamlara nazaran daha sık bulunan bir rakam var mı? Öyleyse bu rakam hangisi…? Gibi yüzlerce soru üretebiliyor oluşumuz bu sayıya olan merakın temel taşlarıdır. Hoş, bu soruların cevabını bilmediğimiz gibi; hangi sorunun ne derece kıymetli olduğu hakkında da bilgimiz yok. Umarız bu soruların cevaplarını bir gün verebilecek seviyeye ulaşırız. Eğer birisi bir gün bunu başarabilirse matematikte çok büyük bir devrimin gerçekleşeceğini söylemek mümkündür. Öyle ki yüzyıllar boyu tarihin en iyi matematikçilerinin uğraşıp da içinden çıkamadığı birçok soru işaretinin ortadan kalkması, insanlık tarihi açısından unutulmayacak devasa bir adım anlamına gelmektedir. Elbette bütün bu güzelliklerin yanında şunu da unutmamak gerekir ki:
Olur da bir gün π’nin gizemini çözebilirsek pek çok kilitli kapının anahtarını elde edeceğimiz gibi daha önce hiç karşılaşmadığımız kilitli kapıları da ortaya çıkaracağız. Farklı soru işaretleriyle boğuşacak olan farklı insanlar için açmış oluruz o kapıları. Zaten matematiğin asıl güzel yanı da bu değil midir?…
Buraya kadar sayının tarihinden, gizeminden ve insanın ilgisini neden çektiğinden bahsettik. Şimdi bilimdeki kullanım alanlarından bahsedelim:
Her şeyden önce bir yerde söz konusu çember ise orada neredeyse her zaman π’nin de bahsi geçer. Biliyoruz ki yarıçapları 1 metre ve 1 kilometre olan iki çemberin de çevrelerinin çaplarına oranı aynı sayıyı yani π’yi verir. Ancak π’nin değerine ulaşamadığımız sürece bir çemberin çevresini tam olarak asla hesaplayamayız. Çevrenin gerçek değeri ile hesapladığımız değer arasında yok sayılacak küçüklükte bile olsa her zaman bir fark vardır. Ayrıca çemberin alan formülü π.r² olduğundan alanın hesaplanması için de π vazgeçilmezdir. Peki sayıyı sadece çemberin çevresini veya alanını bulmak için mi kullanıyoruz, elbette hayır. Geometri ve matematik haricinde pek çok alanda da π karşımıza çıkmaktadır. Özellikle son yıllarda mühendislik, inşaat, GPS, simülasyon, radyo, TV, telefon, enerji üretimi gibi konularda π’nin hayatımızdaki önemini görebiliriz. Araba motorlarından çanak antenlere kadar günlük yaşamımızdan da örnekler vermek mümkündür. Sayının teknolojideki kullanımından bahsedecek olursak bir Benchmark programı olan Super PI, π’yi kullanarak bilgisayar ve telefonların işlemci hızını hesaplamaktadır. Öyle ki π’nin ondalık açılımındaki basamakları bilgisayar hesaplarken geçen zamana göre işlemcinin hızı anlaşılmaktadır. Yine oyun tasarımcıları da π’yi nesnelerin yerleşimi ve hareketi için kullanmaktadır. Ayrıca navigasyon uygulamalarında, internet bağlantılarında ve programlama dillerinde de π’nin kullanıldığını görmekteyiz. Sayı, uzay teknolojisinde de karşımıza bir hayli çıkmaktadır. Mühendisler, uzay aracı tanklarında ne kadar yakıtın bulunduğunu hesaplarken π’yi kullanmaktadır. Gezegenlerin kütlesi, hacmi ve yoğunluğu da yine π yardımıyla belirlenir. Mars inişlerinde, uzay aracıyla iletişimlerde, yörünge hesaplamalarında ve bunun gibi birçok uzay hesaplamasında Pi sayısı olmazsa olmazdır.
Umuyorum ki π’nin kullanım alanlarının ve hayatımızdaki öneminin saymakla bitmeyeceği yukarıda verdiğim örneklerden anlaşılıyordur.
Pi Hakkında Enteresan Bilgiler:
Son olarak π’ye dair ilgi çekici birkaç bilgiden bahsedip yazımı sonlandıracağım.
Pek çoğumuzun bildiği üzere π sayısının kutlandığı bir günü vardır. Basit ifadesiyle sayı 3,14 şeklinde söylendiğinden ötürü her yıl 3. ayın 14’ünde yani 14 Mart’ta sayıya özel etkinlikler düzenlenmektedir. Dünyada 1988’den, ülkemizde ise 2007 yılından beri kutlanan bu özel gün bazı ülkelerde ise 22 Temmuz’dur. Bunun nedeni 22 / 7 kesrinin π’ye oldukça yakın olmasıdır.
Tüm zamanların en önemli fizikçilerinden olan Albert Einstein 1879 yılının π gününde yani 14 Mart 1879’da dünyaya gelmiştir. Yine çok önemli bir diğer teorik fizikçi Stephen Hawking ise 14 Mart 2018’de vefat etmiştir.
Ayrıca günümüzde π’nin ondalık açılımını ezberleme yarışmaları düzenlenmektedir. Sayının binlerce basamağını ezberleyen pek çok insan vardır fakat rekor 2015’te 70030 basamağı ezberleyen Hintli Suresh Kumar Sharma’ya aittir. Sharma’nın bu basamakları sayması tam 17 saat 14 dakika sürmüştür.
Son olarak π hakkında sayısız makale ve kitabın yanı sıra bir de film vardır. 1998 yılında gösterime giren ABD yapımı “Pi” filmini izlemenizi öneririm.
Bu yazıda sizleri π sayısı hakkında bilgilendirmeye çalıştım. Umarım keyif almışsınızdır.
Kaynakça:
Pi World Ranking List. Erişim Adresi:https://www.pi-world-ranking-list.com/?page=lists&category=pi
Beckmann, P. (1970). A History of Pi. St. Martin’s Press 19th edition
Akdeniz, F. (t.y) Matematik, Matematik Tarihi, Pi Sayısı ve Sonsuzluk. Erişim Adresi:https://www.cag.edu.tr/uploads/site/users-special/01386bd6d8e091c2ab4c7c7de644d37b/files/MATEMAT%C4%B0K%20TAR%C4%B0H%C4%B0%2C%20P%C4%B0%20SAYISI%20ve%20SONSUZLUK.pdf
Space Camp Turkey. (t.y). Pi Günü. Erişim Adresi:https://www.spacecampturkey.com/pi-gunu
Chongzhi, Z. (2003). Mathematics History. St Andrews University.Erişim Adresi: https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Zu_Chongzhi/
Horzum, T. (2016). İrrasyonel Sayıların Öğretimi İçin Görsel Model Önerisi: e ve π Sayıları. Bilecik Şeyh Edebali Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü Dergisi Sayı 1. (2016) s. 42-57.
O’Connor, J.J. ve Robertson, E.F. (t.y.).Adrian Van Roomen. Erişim Adresi: https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Roomen/
O’Connor, J.J. ve Robertson, E.F.(t.y.). Ludolph Van Ceulen. Erişim Adresi: https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Van_Ceulen/
Swiss University Claims New Reocrd For Calculating Pi, Erişim Adresi: https://www.swissinfo.ch/eng/swiss-university-claims-new-record-for-calculating-pi/46885548
