İnsanlığın varoluşundan beri insanlar sesi farklı şekillerde, çeşitli amaçlar için kullanmıştır. İlkel yöntemlerle başlayan kullanımlar, zaman geçtikçe insanın düşünsel alanındaki gelişmelerle ilişkilendirilmiş ve akıl yürütmelerle, deneylerle geliştirilen, üzerinde çokça düşünülen bir bilim olan akustiğe dönüşmüştür. Günümüzde sesin en yaygın kullanımı, insanların duyguları, düşünceleri sonucu oluşup duygularını, düşüncelerini etkileyen ve sesten tat almayı merkeze alan müziklerdir. Fakat her zaman bu şekilde olmamıştır.
Antik Çağlardan buluntular olan bazı insan yapımı müzik aletleri bahsedilen kullanımın en eski örnekleridir. Buna rağmen o zamanlardan kalan, dünyanın dört bir yanından bulunmuş çalgılar, eskiden müzik üretmekten ziyade büyü yapmak için kullanılmıştır. İnsanoğlu bu çalgıları yapmakta ve kullanmakta ne denli ustalık gösterirse göstersin bunlardan tat alma yoluna gitmemiştir. (Sachs, 1965). Tat alma temelli çıkarılan seslerin doğuşu ise enstrümanların ilk kullanımından çok daha sonra, müzikte sözlere yer verme ile başlamıştır.
MÖ 4000’li yıllara kadar müzikte hesaplama ve akıl yürütme yer almamıştır (Say, 1935). Bu yıllar ve sonrasında ise antik uygarlıklarda yerel müziği kapsayacak basit, yerel müzik teorileri geliştirilmiştir. Günümüzdeki müzik teorisinin temellerini ise Pisagor atmıştır.
Efsanelere göre Pisagor bir gün yolda yürürken bir demircinin farklı uzunlukta olan demir parçalarına vurarak çıkardığı sesleri duyar. Uzunluğu farklı olan çubukların farklı fakat birbiriyle uyumlu sesler çıkardığını anlar. Uzun demir çubuklardan çıkan ses daha kalın iken kısa olanların sesi daha incedir. Pisagor bu durum üzerinde daha çok gözlem yapmak ister.
Çubukların uzunluğunun 6, 8, 9 ve 12 ile orantılı olduğunu fark eden Pisagor, oranları 1/2 olan -uzunlukları 6 ve 12 ile orantılı olan- iki çubuğa vurur. Çıkardıkları sesler farklıdır ancak Pisagor bunların bir yandan çok uyumlu olduklarını hisseder, bu sesleri ayırt etmesi çok zordur. Basit bir orandan böyle bir uyum çıktığını gören Pisagor, sonrasında uzunlukları oranı 2/3 olan iki çubuğa aynı işlem yapar. Bunların sesleri de Pisagor’a uyumlu gelir fakat bu sefer sesler birbirlerine önceki kadar benzer değillerdir, bu seslerin karakterleri birbirinden farklıdır. Pisagor çıkan bu iki sesi kolaylıkla ayırt edebilmiştir. Daha sonra Pisagor oranları 3/4 olan ve boyları 6 ve 8 ile orantılı olan çubukları alır, buradan çıkan seslerin 2/3 oranındakilere göre daha az uyumlu olduğunu görür. Bunun üzerine yine oranları 3/4 olan ama boyutları 9 ve 12 ile orantılı olan iki çubuğu dener ve seslerin farklılaştığını, ama seslerin arasındaki ilişkinin diğer 3/4 oranlı çubukların sesleri arasındaki ilişkiye çok benzer olduğunu anlar. Pisagor işi bırakmaz, birbirine pek yakın uzunlukta olan iki çubuk ele alır. Çubukların uzunlukları oranı 8/9’dur. Bu orandan çıkan sesler diğerlerine göre daha az uyum, daha fazla karaktersel farklılık içermektedir. Böylece Pisagor şu kanıya varır: Her oranın bir karakteri vardır ve bu oranların uyumu oran sabit olduğu sürece sabittir.
| Çubuklar | 6 | 8 | 9 | 12 |
| 6 | Unison | Dörtlü | Beşli | Oktav |
| 8 | Beşli | Unison | Büyük İkili | Beşli |
| 9 | Beşli | Büyük İkili | Unison | Dörtü |
| 12 | Oktav | Beşli | Dörtlü | Unison |
(Unison: 1/1, Dörtlü:3/4, Beşli: 2/3, Büyük İkili: 8/9, Oktav: 1/2)
Peki Uyumun Kaynağı Nedir?
Frekans, ses dalgalarının bir saniyede yaptığı titreşim sayısıdır ve titreşen toplam madde miktarı ile ters orantılıdır. Yani burada kullanılan çubukların uzunlukları oranı 1/2 ise çıkan seslerin frekansları oranı 2’dir. Aynı zamanda fark ederiz ki frekans oranlarının basit olması ses dalgalarının birim zamandaki ortak tekrarlarını yani düzenli kesişmelerini arttırır. Bu durum birbirine uzak ama birbirlerinin basit katı olan sayıların EKOK’larının (en küçük ortak katlarının) genellikle sayılara göre pek büyük olmayıp birbirine yakın ve aralarında asal olan sayıların EKOK’larının genellikle büyük olmasına benzetilebilir.
Aralıkları bir oktav olan sesin dalgaları Şekil 1’deki gibi gösterilebilir:
Daha az uyumlu olan 2/3 oranındaki dalgalarda ise bu durum Şekil 2’deki gibidir.
Buradan uyumun dalgaların kesişmesi ile ilişkili olduğunu görmekteyiz. Oran daha basit olduğunda düzenli kesişim sayısının arttığını da anladığımıza göre evrensel olarak kabul edilen “uyumun temel teoremi”ne ulaşabiliriz. “O hâlde uyumun temel teoremi şudur: Birlikte çalınan iki nota, frekans oranları küçük tam sayılar kullanıldığında kulağa iyi (uyumlu) gelir; sayılar büyüdükçe giderek daha rahatsız edici (uyumsuz) bir ses üretilir” (Ryan, 2017).
Pisagor bu basit frekans oranlarından yola çıkarak uyumlu bir frekans demeti bulmak ister. Oranları 2/3 olan çubukların farklı ama yeterince uyumlu ses çıkarabildiğini ve diğer uyumlu oran olan 8/9’un 2/3 oranının karesinin iki katı olduğunu keşfettiğinde 3/2 olarak bulunan beşli oranının tekrar tekrar kendi ile çarpılmasını düşünür. Bu oranların aynı kimliğe sahip iki ses (oktav) arasında kalması için de çok fazla gelen frekanslar 2’ye bölünür. Bu şekilde defalarca 2’ye çarparak ya da bölerek baz alınan frekansın kendisinden büyük, iki katından küçük olacak şekilde derlemiş olur. Bu şekilde 3/2, 9/8, 27/16, 81/64, 243/128, 729/512 gibi oranlar elde eder. Bu oranların gittikçe karmaşıklaştığını gören Pisagor gereken frekansları 3’e bölüp yeterince 2’ye çarpmaktansa, ilk şekilde bahsettiğimiz dörtlünün oranından yola çıkarak 3’le çarpıp yeterince 2’ye bölmeye başlar. Bunun genel akorda bir etkisi yoktur, uyum aynı kalacaktır ama sayıların karmaşık hâle gelmesi önlenecektir. Bunun sonucunda da baştaki oranı 4/3, 16/9, 32/27, 128/81, 256/243 ve son olarak 1024/729 olan değerlerini elde eder. Fark etmesi kolay olmasa da en son elde edilen oran 729/512’ye oldukça yakındır. Fibonacci bu oranlardan sadece birini, yani 1024/729 yerine 729/512’u kullanır ve bu şekilde birbirlerine oranı 1/2 olan iki çubuğun arasında oranları düzenli olan 11 çubuk yerleştirilmiş olur.
| 3/2 ile Çarpma Sayısı | 0 | -5 | 2 | -3 | 4 | -1 | 6 | 1 | -4 | 3 | -2 | 5 | 0 |
| Çubuk Uzunluğu | 1 | 243/256 | 8/9 | 27/32 | 64/81 | 3/4 | 512/729 | 2/3 | 81/128 | 16/27 | 9/16 | 128/243 | 1/2 |
| Frekans Oranı | 1 | 256/243 | 9/8 | 32/27 | 81/64 | 4/3 | 729/512 | 3/2 | 128/81 | 27/16 | 16/9 | 243/128 | 2 |
| Günümüzde Karşılığı | Do | Do# | Re | Re# | Mi | Fa | Fa# | Sol | Sol# | La | La# | Si | Do |
Oluşturulan sisteme bakıldığında aralarında 4 veya 6 sütun bulunan her iki sütunun (Do-Sol, Re-Sol, Re#-La#) arasındaki oranın 2/3 veya 4/3 olduğu görülür, tabii ki bir çift hariç. Yukarıda gördüğünüz Fa# ile Do# çubuklarının arasındaki oranın 2/3 değil, (256/243) / (729/512) yani 131072/177147 olduğunu görürüz. Buna kurt aralığı denmiştir.
Bu durumun nedenini temel aritmetik teoreminden bulabiliriz: “Pozitif tam sayılar 1, 2, 3… gibi sayılardır. Asal sayılar, 1’den büyük olan ve iki pozitif tam sayıya tam olarak tek bir şekilde çarpanlarına ayrılabilen tam sayılardır. 1’den büyük her tamsayı, benzersiz ve tek bir şekilde asalların çarpımı olarak çarpanlarına ayrılabilir” (Granville, 1998).
Eğer ki 3 sayısının herhangi bir kuvveti 2’nin herhangi bir kuvvetine eşit olsaydı bu kural ile çelişirdi. Diyelim ki 2^x + 3^y olsun. Bu durumda çarpanlarının arasında 2^x olan bir sayı onun yerine çarpanlarında 3^y olacak bir biçimde çarpanlarına ayrılabilirdi. Bu durumda bir sayı en az 2 şekilde asalların çarpımı olarak yazılırdı ki bu durum da evrensel bir matematik kuralına ters düşerdi. İşte bu yüzden, 3/2’lerin ne olursa olsun 1/2 oranına eşit olmayacağını gören Pisagor, kurt aralığını bir kez olsun kullanarak örüntünün başa dönebilmesini sağlamıştır. Bu aralık kullanılmadan örüntüyü başa döndürmeye çalışılırsa, başa dönen nota ile en başta bekleyen nota arasında 1/1 yerine \frac{(3/2)^{12}}{2^8} ’lik bir oran çıkacaktır. İşte bu orana “Pisagor koması” denilir. Müzik pratiğinde Pisagor koması ciddi sorunlara neden olmuştur. Bu nedenle geçmişte, enstrümanlar için(?) bu sorunları en aza indiren akortlar bulmak için çok sayıda yaklaşım geliştirilmiştir. (Sandor, 2009).
Sadece Entonasyon
Geçmişte Pisagor’un geliştirdiği 12 sesli sisteme çözüm niteliğinde olduğu düşünülmüş sistemlerden biri “sadece entonasyon” sistemidir. Bu sistemde, Pisagor’un geliştirdiği nota sisteminin içerdiği oranların doğruya yakın olduğu savunulmuş, bu oranları küçük değişiklikler ile basite indirgeme amacı güdülmüştür. Uygulamada Pisagor’un belirlediği 12 nota içerisinden biri temel alınmış, diğer notaların o notaya Pisagor sistemindeki oranı sırasıyla ele alınmıştır. Bu oranlar küçük yuvarlamalar ile basit oranlara çevrilmiştir. Örneğin aralarındaki oran Pisagor’un sistemine göre 81/64 olan iki frekans, küçük bir yuvarlamayla 80/64, yani 5/4 olarak yeniden yazılmıştır.
| İsim | Do | Do# | Re | Re# | Mi | Fa | Fa# | Sol | Sol# | La | La# | Si |
| Pisagor | 1 | 256/243 | 9/8 | 32/27 | 81/64 | 4/3 | 729/512 | 3/2 | 128/81 | 27/16 | 16/9 | 243/128 |
| Entonosyon | 1 | 16/15 | 9/8 | 6/5 | 5/4 | 4/3 | 45/32 | 3/2 | 8/5 | 5/3 | 9/5 | 15/8 |
Buna karşın yıllar sonra, “akustiğin babası” olarak anılan müzik teorisyeni Marin Mersenne (1588–1648), titreşen tellerin ilk altı doğuşkanı olan 1/1, 2/1, 3/1, 4/1, 5/1, 6/1’i doğru bir şekilde matematiksel olarak tanımlayan ilk Avrupalı oldu. Bu keşifler Batı müziği teorisini fevkalade değiştirdi ve hemen sonrasında bilim insanları ile müzisyenler, sadece entonasyonun rasyonel oranlarının bir insan geleneği oluşturmakla kalmadığını, aynı zamanda bir doğa olgusunu yansıttığını fark ettiler (Forster, 2010). Evet, Pisagor aslında bir temel sesin doğuşkanlarını çok yakından gösterecek oranları bulmuştu ve bu doğuşkana (1/5 ya da 4/5) ulaşmak için küçük bir değişim yeterliydi. Fakat sonradan bu sistemi kullananlar büyük bir sorunla karşı karşıya kaldı. Bu sistemde ilk nota dışında bir nota baz alındığında tüm oranlar alt üst oluyordu. Bu yüzden Pisagor komasına yeni bir çözüm geliştirildi.
12 Eşit Aralıklı Tonal Sistem
Günümüzde kullanılan sistem olan 12 eşit aralıklı tonal sistemde her iki nota arası eşit oranlıdır, yani notalar logaritmik artar. Ardışık her iki nota arası oranın eşit olması, yani notaların sabit geometrik bir artış izlemesi için de “cent” adında değişmez bir oran kullanılır. Bu sistem de doğuşkanları yakından gösterdiği için sanatçılar tarafından kullanıma uygun görülmüştür. Eşit aralıklı tonal sistem günümüz müziğinin tamamına yakınında kullanılmaktadır. Saf doğuşkanları ifade etmemesinden dolayı yüzyıllar boyunca tartışma konusu olmasına rağmen oranların her aralıkta sabit kalmasının verdiği güven, oranların sadeliğinin önünde tutulmuştur.
Bu sistemden yola çıkılarak elde edilen aralıklar yukarıda da bahsi geçen cent niceliği ile açıklanır. Birisi diğerinin iki katı olan iki frekanslı sesin arasındaki aralığı logaritmik artacak bir şekilde 1200 parçaya bölünce elde edilen orana cent denir. Bu oran matematiksel olarak 2^{\frac{1}{1200}} ile ifade edilir. La=440 ile La=880 arasında tam 1200 cent, La=440hz ile Mi=660hz arasında da yaklaşık 702 cent vardır.
Müzikal uyumun değerlendirilmesi
Daha önce Pisagor’un bulduğu oranlardan bahsederken oranların basit olmasının ses dalgalarının düzenli karşılaşmasını sağladığını ve bunun da uyumu doğurduğunu söylemiştik. Tarih boyunca bu duruma elle tutulur açıklamalar yapılmaya çalışılmıştır. Bu alandaki birçok buluşun ilki sayılabilecek olanı, daha önce bahsetmiş olduğumuz Marin Mersenne tarafından tanımlanmış “Mersenne Kuralları”dır. Bu kurallar telin niteliklerinin frekansa etkisini ve armoniklerin matematiksel temelini tanımlar. Kurallar, Galileo Galilei’nin daha önce varmış olduğu bazı kanılar ile örtüşse de çalışmalar arasındaki temel fark Galileo’nun bu tanımların kanıtlanmasının imkânsız olduğunu belirtmesidir. Mersenne’in ölçümlerinin yetersiz olduğunu gören Fransız matematikçi Joseph Sauveur, ölçümleri gelişmiş araçlar ile daha iyi hâle getirmiştir.
Sonuçta ortaya çıkan Mersenne Kuralları şunları söyler:
Titreşen telin temel frekansı (bir sesin 1. doğuşkanı, yani kendisi)
Yaşamış en önemli matematikçilerden olan Leonhard Euler, matematiğin yanında müzik üzerinde de sayısız çalışma yapmıştır, bunlardan biri de frekans oranlarının uyumunu incelemek için geliştirdiği matematiksel yöntem olmuştur. Euler, müzikal uyumu tanımlamak için mevcut çalışmaları inceler ve ötesine geçmek ister:
“Gradus Suavitatis” adını verdiği bir sayı aracılığıyla farklı aralıkları derecelendirir (Bu, uyumluluk, tatlılık veya yumuşaklık derecesi olarak tercüme edilebilir). Notalar arasındaki oranların irrasyonel sayılar olduğu 12 eşit aralıklı dizi kavramına aşinadır fakat irrasyonel sayılara tam sayı oranları ile bir nebze yaklaşılabileceğinden, insan kulağının bu irrasyonel oranlardan rahatsız olmadığını savunmuştur.
Euler, başlangıçta unisonlara (aynı notalara) d = 1 derecesi ve bir oktava 2 derecesi atamıştır. P’nin bir asal sayı olduğu 1/p oranları için, dereceyi d = p olarak ayarlamıştır. Örneğin, bir oktav artı bir beşli aralık (diyelim ki Do4’ten Sol5’e), oranı 1/3 olduğundan d = 3 olacaktır. Bundan sonra da n tane asal çarpanı olan ve bu asal çarpanlarının toplamı s olan herhangi bir m bileşik sayısı için bir oran ifadesi geliştirir. Sonuçta 1/m oranına sahip aralığın derecesinin d = s – n + 1 formülü ile bulunmasına karar verir.
Ayrıca çalışmalarında Euler, p/q oranının 1/pq ile aynı dereceye sahip olduğunu ve bir üçlü için p/q/r’nin 1/pqr ile aynı dereceye sahip olduğu sonucuna varır. Buraya göre p ve q veya p, q ve r bileşenlerinin en küçük ortak katı m olsun. O zaman s, m’nin asal çarpanlarının toplamı ve n de bunların toplamı olacaktır. Örneğin, tam beşli, 3/2, 1/6 ile aynı dereceye sahiptir ve buradan derecesinin 4 olduğu bulunur. 4/5/6 oranlarına sahip bir akor için ise en küçük ortak kat 60’tır. = 2 x 2 x 3 x 5, böylece m = 60, s = 12 ve n = 4, d = 12 – 4 + 1 = 9 derecesine ulaşırız. Euler bunun yanında oranların çok karmaşık olduğu zamanlarda insan beyninin bu oranları yakın, basit oranlara yuvarladığını savunur fakat buna tam bir açıklama yapamaz. Bu eksiklik, irrasyonel sayıların kullanıldığı eşit aralıklı sistemin kabul edilmiş yaygın bir açıklaması olmadan kalmasına neden olur.
19. yüzyılın sonlarına doğru ünlü fizikçi Helmholtz, psikofizikten esinlenen çalışmalarıyla birbirine yakın karmaşık oranlara bir açıklama getirmek ister. Çalışmalardan elde ettiği bulgulara göre insan beyni çok karmaşık oranlar içeren iki yakın frekanslı sesi dinlerken beynin çalışma kapasitesinin yetersizliğinden dolayı seslerin toplamını alarak işlem yapar, aradaki küçük frekans farkı ise seste bu değere sahip, rahatsız edici bir ses yüksekliği dalgası yaratır.
Bunu matematiksel olarak inceleyecek olursak şu şekilde olur:
Bir dalganın karakteri bir sinüs dalgasına benzediği için “t” zaman ve f1 ile f2 frekans olacak şekilde ses dalgaları sin(tf1) ve sin(tf2) şeklinde yazılabilir. Bu iki dalganın toplamı ise \sin (\alpha) + \sin (\beta) = 2\sin (\frac{\alpha + \beta}{2}\cos (\frac{\alpha - \beta}{2}) denkleminden bulunur. sin(tf_1) + sin(tf_2) Denkleminin sonucu 2\sin (t \frac{f_1 + f_2}{2}\cos (t \frac{f_1 - f_2}{2}) Bu denklemdeki \frac{f_1 + f_2}{2} ortalama frekansı ve dolayısıyla ortalama frekansın oluşturacağı dalgayı \frac{f_1 - f_2}{2} ise aralarındaki fark olan frekansın oluşturacağı dalgayı verir. Bu da büyük frekanslı dalganın frekansı, küçük frekanslı dalganın ise genliği belirlemesine ve aşağıda verilen türde bileşik bir dalganın ortaya çıkmasına sebep olur.
Helmholtz’dan sonra ses oranlarının değerlendirilmesi üzerine yapılan çalışmalarda onun getirdiği açıklama eksik görülmüş olsa da modern açıklamaların ana fikri bu açıklamadan pek uzaklaşmamıştır.
Kaynakça
Jeans, James Hopwood (1937/1968). Science & Music, pp.62-4. Dover. ISBN 0-486-61964-8
Mersenne, Marin (1636). Harmonie universelle
Cohen, H.F. (2013). Quantifying Music: The Science of Music at the First Stage of Scientific Revolution 1580–1650, p.101. Springer. ISBN 9789401576864.
Shapira Lots I, Stone L. Perception of musical consonance and dissonance: an outcome of neural synchronization. J R Soc Interface. 2008 Dec 6;5(29):1429-34. doi: 10.1098/rsif.2008.0143. PMID: 18547910; PMCID: PMC2607353
Maor Eli, (2018). Music by the Numbers, From Pythagoras to Schoenberg, Princeton University Press, New Jersey.
Shah Saloni (2010). An Exploration of the Relationship Between Mathematics and Music. Other Thesis, Manchester Institute for Mathematical Sciences, The University of Manchester. http://eprints.maths.manchester.ac.uk/id/eprint/1548
Forster Chris (2010). Musical Mathematics: On the Art and Science of Acoustic Instruments, Choronicle Books.
Calinger Ronald (1996). Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years. Historia Mathematica, 23, 121-166, Article No. 0015.
Sandor Jozsef (2009). Euler and music. A forgotten arithmetic function by Euler. Octogon Mathematical Magazine, Vol. 17, No. 1, pp. 265-271 Erişim Adresi: https://www.uni-miskolc.hu/~mat şefi/Octagon/volumes/volume 1/article 1 25.pdf
Granville Andrew (1998). The Fundemental Theorem of Arithnetic. Erişim Adresi: https://dms.umontreal.ca/~andrew/PDF/Fundamental.pdf
Ryan David (2017). Mathematical Harmony Analysis On measuring the structure, properties and consonance of harmonies, chords and melodies. Draft 04, Edinburgh, UK. Erişim Adresi: https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1603/1603.08904.pdf
Sachs Curt (1965). Kısa Dünya Musikisi Tarihi. MEB Devlet Konservatuvarı, Çev. İlhan Usmanbaş, İstanbul.
Say Ahmet (1935). Müzik Tarihi, Islık Yayınları.
Euler, L.: Tentamen novae theoriae musicae ex certissismis harmoniae principiis dilucide expositae. Opera Omnia, Series 3, vol. 1 (1739)
