Teknolojik bir alet düşünün. Bir ev aleti olsun. Süpürge, çamaşır makinesi… Bu teknolojiyi keşfetmek için uzun yıllar süren bir bilimsel araştırma sürecine ve sayısız deneye ihtiyaç duyulmuştur. Bu akılalmaz bilgi birikiminin ve o bilgi birikimini pratiğe döken çabanın sonucunda bahsi geçen ev işinin kolaylaştığını söyleyebiliriz. İnsanlığın ortak mirası olarak sahip olduğumuz bilgi birikimi ve onu elde etmek için harcadığımız çaba dolayısıyla bugün bir kimse, çamaşırları teker teker elde yıkamak ve bu uzun süreci ömrü boyunca sürekli tekrar etmek yerine bir çamaşır makinesi çalıştırabilir. Çamaşır makinesi işin daha az zaman ve daha az enerjiyle halledilmesini sağlar. Ek olarak kaliteli bir çamaşır makinesine sahipseniz ve makineyi doğru kullanıyorsanız bu durum size elde yıkamaktan daha temiz sonuçlar getirir!

Matematik yolculuğunuz boyunca, her biri bir önce öğrendiğinizden daha zor matematik konseptleriyle karşılaşacaksınız. Bu yolculuk, kalbinizin dilediği kadar devam edecek. Günümüz matematiği o kadar geniş bir alanı kapsamaktadır ki tek bir insanın bütün matematiği bilmesi imkânsızdır. Bu bir matematiksever için üzücü bir haber olabilir -ne kadar çaba harcarsanız harcayın, keşfedilecek bütün güzellikleri tamamlamaya yanaşamayacaksınız bile- fakat başka bir bakış açısıyla bu aslında mutlu bir haber olabilir. Çünkü keşfetmenin ve öğrenmenin güzelliği asla tükenmeyecek.

Yolculuğunuzda kimi zaman yeni sistemlerle karşılaşacaksınız. Bu sistemler daha önce gördüğünüz matematiğe hiç benzemeyecek. Bu yabancılık hissi, zaten zor olan bir konuyu daha da fazla zorlaştıracak. Yolculuğunuzda bu durumu deneyimlediğiniz ilk durak, kalkülüs öğrenmek olabilir. Kalkülüs öğrenene kadar cebir öğrendik: sayılarla aritmetik yaptık, bilinmeyenlerle işlemler yaptık, denklemlerle ve grafiklerle çalıştık, fonksiyonlar öğrendik. Kalkülüs o ana kadar kullandığımız, matematik olarak bildiğimiz matematikten çok daha farklı bir sistem kullanıyordu ve en başta zordu! Kalkülüs veya herhangi bir yeni matematik öğrenirken kendinize sorabilirsiniz: Neden? Neden bunu öğreniyorum? Bu öğrendiğimin matematikte yeri ne? Sadece öğrenmiş olmak, ileriye gitmek için mi öğreniyorum yoksa bu öğrendiğimin şu ana kadar öğrendiklerimle bir ilişkisi var mı? Eğer var ise bu ilişki nasıl bir ilişki?..

Matematikte kimi sistemler, yukarıda örnek olarak verilen teknolojik aletler gibi çalışır. Öğrenmesi başta bir çaba gerektirir fakat bu çaba bize daha önce yalnızca hayal edilmesi mümkün olan kapıları açar. Kalkülüsün araçları bize bir fonksiyonun cebir aracılığıyla anlaşılması mümkün olmayan özelliklerini analiz etmemize olanak sağlar. Ayrıca cebirle hesaplayabileceğimiz kimi özelliklerini hem daha hızlı hem de daha genelleşmiş bir şekilde hesaplamamızı sağlar. Günün sonunda kalkülüs öğrenmek için harcadığımız çaba, bize fazlasıyla geri döner. Kendi içinde kalmaz, geçmiş ve gelecek matematikle doğal bir ilişki kurarak anlayışımızı bütünleştirir.

Burada not edilmesi gereken bir nokta, matematik yalnızca ‘fayda’ için çalışılmaz. Kendisine duyduğumuz sevgi için araştırılır ve öğrenilir. Kaldı ki biz bu yeni sistemleri kendileri için araştırdığımızda bile aslında keşfettiğimiz yeni parçaların matematiğin bütünüyle çok derin ve doğal bir ilişki içinde olduğunu fark ediyoruz. Sadece kalem, kâğıt ve hayal gücü ile gelişen bir uğraş için bu hiç de hafife alınacak bir doğallık değil! Doğa bilimlerinde masraflı araçlarla evreni gözlemliyoruz. Doğanın bir kuralı olarak gözlemlerimiz aynı şartlarda tekrar edilirse aynı sonucu vermelidir ve doğanın kanunları evrenin her yerinde aynıdır. Buradan kaçınılmaz bir şekilde doğa kanunlarının kendi içinde tutarlı olduğu ve bu kanunların birlikte çalıştığı sonucuna varılır. Peki matematikte bu tutarlılık ve doğallık nereden geliyor? Elbette matematikte kendi evrenimizi yaratabiliriz. Farklı aksiyomlarımız, kurallarımız olur ve bunları araştırırız ancak hâlâ oluşturduğumuz, araştırıp geliştirdiğimiz birçok sistemde aksiyomlarımıza dâhil olmayan doğal ilişkiler gözlemliyoruz. Bunlar bize matematiğin, zihinsel bir uğraşın, dışarıdan somut dayanak olmadan mantık izinde doğal bir yoldan geliştiğini gösterir.

Bu yazımızda hem öğrenmeye harcadığımız çaba sonucu matematik hayatımızı kolaylaştıracak hem de bu doğal gelişimin izlerini görebileceğimiz, matematiğin doğallıktan gelen güzelliğini bir kez daha takdir edeceğimiz bir konuyu inceleyeceğiz. Kompleks (karmaşık) sayıların döndürme özelliğini…

Matris Alan Dönüşümleri

Bir vektör düşünün. Vektörler, büyüklüğü ve yönü bulunan matematiksel ve fiziksel nesnelerdir. Matematik dünyamızda vektörler, kartezyen koordinat sistemini andıran bir koordinat sisteminde yaşarlar. Bu yaşam alanlarında birim vektörler bulunur. Vektörlerimiz, bu birim vektörlerin skaler değerlerle çarpılması ve birbirleriyle toplanmasıyla elde edilmiştir.

Vektörlerimizin yaşaması için bir koordinat sistemi vereceğiz ve vektörlerimiz üzerinde etki gösteren birkaç işlemden bahsedeceğiz. İlk olarak iki boyutlu bir koordinat sistemi ele alalım: bu koordinat sisteminde nasıl herhangi bir noktayı iki sayı vererek gösterebiliyorsam vektörümü de çok benzer bir şekilde gösterebilirim: Vektörüm orijinden başlar, kafası verdiğim noktadadır. Ayrıca bu koordinat sisteminde iki tane birim vektör bulunur. Biri (1, 0) noktasına uzanır, diğeri (0, 1) noktasına. Adları i ve j. İkisinin de büyüklüğü 1 birim ve birbirlerine dikler. Bu vektörleri aşağıdaki gibi vereceğim:
\hat{i} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \hat{j} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}
Anladığınız üzere, vektör koordinat sistemim şu ana kadar tanıdığımız matematikten çok da farklı işlemiyor. İki boyutlu uzaydaki bir vektörü iki veriyle ayırt edebiliyorum. Herhangi bir vektörü bu iki birim vektörü kullanarak yazabilirim. Mesela:
\overrightarrow{v} = 3\hat{i} + 4\hat{j}
Ya da
\overrightarrow{v} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}

Sahip olduğum vektör, 5 birim büyüklüğünde ve yatay düzlemden yaklaşık 53° yukarı bakıyor.

İki vektörü birbiriyle toplayabilirim ya da bir vektörü skaler bir değer ile çarpabilirim. Vektörleri toplarken görsel olarak yaptığımız iş iki vektörü uç uca ekleyip başlangıç noktasından bitiş noktasına yeni bir vektör çizmektir. Ayrıca vektörleri birim vektörlere ayırıp bu açılımları toplayarak da sonuca varabilirim. Bir vektörü skaler ile çarpmak o vektörün büyüklüğünü değiştirir. Negatif skaler değerler vektörün yönünü değiştirir. Bir vektörü birim vektörleri kullanarak ifade ederken yaptığımız şey bu iki işlemdir. Birim vektörler bir skaler ile oranlanır ve sonra toplanır. Bir vektörü bu şekilde ifade etmeye lineer kombinasyon denir.

Matematikte ve fizikte öğrendiğimiz nesne türleri vardır. Skaler ve vektörel değerler bunlara birer örnektir. Skalerlerin yönü yoktur, vektörlerin ise vardır. Mesela enerji skaler iken hız vektöreldir ancak gördüğümüz bütün fiziksel değerler bu ikisinden biri olmak zorunda değildir. Bir başka değer türü ise matrislerdir… 
Nedir bu matrisler? Matrislerin işlevlerinden birisi, alan dönüşümlerini kodlamaktır. Kare matrisler, adı üstünde kare şeklinde yazılır. Bir örnek verirsek:
M = \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}
Bu gördüğümüz 2×2’lik bir kare matristir. İki boyutlu bir uzaya uygulanan değişimi ifade eder. Birinci sütun, x sütunu, birinci birim vektörümüz olan i’nin gideceği koordinatı verir. İkinci sütun ise aynısını j için yapar. Bu değişim sadece i ve j vektörlerine uygulanmaz. Bütün alan birim vektörler ile birlikte döner ve genişler. Alandaki diğer bütün vektörler de bu değişimden etkilenir.

Bir alan dönüşümünün lineer dönüşüm olması için uyması gereken iki kural vardır. Elbetteki bu kuralları formüle etmenin farklı yolları vardır fakat hepsi aynı kapıya çıkar. u ve v iki tane vektör olsun. f, bu vektörlere etki eden bir alan dönüşümü olsun. c ise bir skaler.  Aşağıdaki iki şart sağlanmalıdır:
f(\overrightarrow{v} + \overrightarrow{u}) = f(\overrightarrow{u}) + f(\overrightarrow{v}) \rightarrow \text{Vektör toplamının korunması}
f(c \overrightarrow{u}) = cf(\overrightarrow{u}) \rightarrow \text{Skaler çarpımın korunması}
Alan dönüşümü sonucunda o alanda yaşayan bütün vektörler, dönüşümün kodladığı şekilde döner ve oranlanır. Dönüşümün lineer dönüşüm olması için alanda çizebileceğim iki paralel çizgi, dönüşüm sonunda da paralel kalmalıdır. Ayrıca alandaki bütün paralel çizgiler arasındaki mesafeler, dönüşüm sonunda da aynı oranda kalmalıdır. Bu gereksinimleri lineer bir dönüşümü hayal ederek sağlayabilirsiniz: Alan, birim vektörlerin öncülüğünde sadece döner ve genişler.

Örnek M matrisimize geri dönelim. Kare matrisler lineer dönüşümleri kodlar. Bu matrisin etkisiyle bütün alan 53° saat yönünün tersine döner ve 5 katına çıkar. İki birim vektör de aynı skalerle oranlandığı için alanda çizili bir resmin en ve boy oranı aynı kalır. Eğer birim vektörlerimiz farklı skalerler ile oranlansaydı alanımızdaki çember çizimleri elips çizimlerine dönüşecekti.

Bir vektöre alan dönüşümü sonucunda ne olacağını görmek için vektör matris çarpımı kullanırız. Bu çarpımın sonucu bize bir vektör verir. Mesela:
\begin{bmatrix} 4 \\ 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 25 \end{bmatrix}
İşlemi aklınızda hayal etmeye çalışın. 5 birim uzunluğunda yerden 37° yüksekte bir vektör, 53° döndü ve 5 katına genişledi. y ekseninde yatacak ve 25 birim uzunluğunda olacak.

Kompleks Sayılar

Diyelim ki elinizde bir nokta var ve çözmek istediğiniz soru, alanı biraz döndürürsek o noktanın nereye gideceğini soruyor. Eğer vektör ve matris çarpımının nasıl yapıldığını biliyorsak o noktayı hemen bir vektör ve döndürme işlemini bir matris olarak yazabiliriz. Bunu yapmak soruyu çabucak çözmemize yardımcı olmakla kalmaz. Ek olarak geometride kullanması rahat olmayan sayılarla verilen problemleri dahi kolaylıkla çözmemizi sağlar.

Fakat aynı problemi lineer cebirden daha rahat çözmenin bir yolu var: kompleks sayılar!
Reel sayılar, sayı doğrusunu doldurur. -1 sayısının karekökü, bir reel sayı değildir. Bu sayıya i denir. i, 2i, -5i, πi gibi sayılara sanal (hayalî) sayılar denir ve reel sayılara dik yerleştirilerek âdeta x-y koordinat sistemi gibi bir koordinat sistemi oluşturulur. Peki neden hayalî sayılar öyle yerleştirilir? Neden öyle bir dünyada yaşarlar?

Bu reel sayılar ve hayalî sayıların birlikte oluşturduğu koordinat sisteminde yaşayan bütün sayılara kompleks sayılar denir. Kompleks sayıları ifade etmenin iki yolu vardır. Daha basit olanı, a + bi gösterimidir. a ve b reel sayı, i ise hayalî birimdir. a + bi şeklinde yazılabilen sayılara kompleks sayı denir. a reel kısım, b ise hayalî kısımdır. Dikkat ederseniz bu kısımlar 0 olabilir. Yani bütün reel sayılar aynı zamanda birer kompleks sayıdır.

Kompleks sayılar da reel sayılar kadar ‘gerçek’ sayılardır. Bu sayılarla tıpkı reel sayılarda yaptığım gibi toplama ve çarpma işlemleri yapabilirim. Aynı birleşme, değişme ve dağılma kuralları geçerlidir. Tek yapmam gereken i² gördüğüm yere -1 yazmak. Mesela:
(3 + 5i) + (4 - 2i) = 7 + 3i
-i(5 + 2i) = 2 - 5i
Kompleks sayıları ifade etmenin bir diğer yolu ise polar koordinatlardır. Bu gösterim şeklini yazmadan önce biraz düşünelim. Kompleks sayımı kartezyen koordinatta yazmak için iki tane bilgiye ihtiyaç duydum: sayımın reel kısmı ve hayalî kısmı. Bir bakıma, x ve y koordinatı. Polar koordinatta da iki bilgiye ihtiyacım olacak. Matematikte metrik uzay, içerisinde ‘mesafe’ tanımına sahip olduğumuz bir uzaydır. Kompleks sayıların yaşadığı koordinat sistemi de metrik uzaya bir örnektir. Zaten reel ve hayalî kısmı yazabilmek için bir mesafe algısı kullanmıştık. Nasıl ki reel sayılar reel sayı doğrusunda bir nokta belirtiyorsa kompleks sayılar da iki boyutlu uzayda bir nokta belirtir ve bu noktanın, orijine olan bir mesafesi vardır. İşte bu mesafeye kompleks sayının büyüklüğü diyebiliriz. Fakat bu çok doğru bir söyleyiş değil çünkü vektörlerin büyüklüğü vardır, biz şu an bir sayıdan bahsediyoruz! Kompleks sayının büyüklüğü, mutlak değer simgesiyle ifade edilir. Demek istediğim:
z = 3 + 4i, |z| = 5
Mutlak değer fonksiyonu özünde bir metrik fonksiyondur. İki nokta arasındaki mesafeyi belirtir. Reel sayılarda mutlak değer fonksiyonunu, bir ‘mesafe’ fikrine ihtiyacımız olduğunda sıklıkla görürüz. Mesela fonksiyonda limit kavramının tanımında (epsilon-delta tanımı) ana fikir, girdi aralığımızı küçülttükçe dar bir çıktı alanının içinde kaldığımızdır. Bu aralık fikirleri mesafe kavramı olmadan düşünülemez ve gerçekten de epsilon-delta tanımını formüle dökmek için mutlak değer fonksiyonundan yararlanırız.

İhtiyacımız olan bir diğer bilgi ise kompleks sayının, reel eksenle yaptığı açı. Bu açıya kompleks sayının argümanı denir. Saat yönünün tersi olan yön pozitif açıdır. +x ekseninden π/2 radyan dönmek sizi +y eksenine götürür. Kompleks sayı 2π radyan bir yelpazede bulunur ve argüman bilgisine orijine mesafesini de ekleyerek kompleks uzaydaki bütün noktalara ulaşabilirim. Yani bütün kompleks sayılar hem kartezyen koordinatlarla hem de polar koordinatlarla ifade edilebilir. Bu gösterimler birbirine eşittir ve ikisi de aynı sayıyı ifade eder, tıpkı 2 ile 6/3 gibi. Ayrıca sayıyı nasıl gösterirsem göstereyim o sayıyla toplama, çarpma işlemleri yapabilirim.

Polar gösterimdeki uzunluk ve açı bilgisi, bize kompleks sayıların lineer dönüşüm kavramıyla bir ilişkisi olabileceğine dair bir ipucu vermektedir. Gerçekten de böyle bir ilişki mevcuttur! Bu ilişki kompleks sayıların en güzel, en karakteristik özelliklerinden biridir. Öyle önemlidir ki ne zaman kompleks sayılarla karşılaşsanız, aklınızın bir köşesinde dönme hareketi bulunmalıdır. Aynı şekilde ne zaman sizden bir dönme hareketi istense, bir nesneyi alıp sarmanız gerekirse, ilk ilhamınız kompleks sayılar olmalı.

Henüz kompleks sayıları polar gösterimde yazmadık. Oraya varmadan önce, son bir kez daha zaten çok yakından tanıdığımız bir konsepti farklı düşünelim…

Çarpma İşlemi ve Alan Dönüşümü

Reel sayılarda çarpma işlemini düşünün fakat bir sayıyı alıp başka bir sayıyla çarpmayalım. Aksine, bütün reel sayı doğrusunu sayımızla çarpalım. Doğru genişlesin veya daralsın, belki negatif bir sayıyla çarpılıp takla atsın.

Çarpma işlemi, bize seçtiğimiz bir sayının doğrudaki bahsedilen bir değişimden sonra nereye varacağını söyler. Mesela 3 x 6 işlemini ele alırsak: Sayı doğrusu 3 ile oranlanarak genişler ve eskiden 6 noktasında olan sayımız, kendisini 18 noktasında bulur.

Meraklı okuyucu, bu işlemin değişme özelliği göstermesiyle ilgilenebilir. Eğer doğrumu 6 ile genişletirsem 3 sayısı, kendisini 18 noktasında bulur. Düşününce bu özellik gerçekten de ilginç. Sonuçta sayıların birini referans noktası olarak kullanıyoruz, birini ise alanı değiştirmek için. Eğer çarpma işlemi olarak yazılmasaydı buradaki değişme özelliği aklımıza yatar mıydı? Aklınıza yatması için şu şekilde düşünebilirsiniz: Birim uzunluğa iki kere alan değiştirme uygulayın. 3 sayısı, 1 sayısının 3 ile genişletildikten sonra geleceği yer. Sonrasında bu genişletilmiş doğruyu bir kez daha 6 ile genişleterek 18 sonucuna ulaşıyoruz. Ve birim uzunluğa bu iki dönüşümü hangi sıra ile uyguladığımızın bir önemi yok.

Bir boyutlu reel sayı doğrusunda tek hareket özgürlüğümüz bu oranlama işlemiydi. Sayı doğrusunu negatiften pozitife doğru sonsuz uzunlukta bir vektör, yaptığımız işlemi de skaler çarpım olarak düşünebilirsiniz. İki boyutlu uzayda aynı işlem için bir hareket özgürlüğü daha kazanırız: döndürme.

Kompleks sayılar tam olarak bu döndürme işlemini yapar. Büyüklükleri bir pozitif reel sayı ile ifade edilir (mutlak değer!) ve uzay, bu oranda genişletilir veya daraltılır. Açı bilgisi kadar ise alan döndürülür. Bir reel sayıyı negatif bir sayıyla çarpmak, kompleks sayılarda 180° döndürmek anlamına geliyor.

i sayısının yaşadığı yerde neden reel sayılara dik yaşadığı sorusunun cevabı buradadır. Hemen bir örnek soru çözelim: A = (3,4) noktası, 90° döndürülürse hangi A’ noktası üzerine gelir? Kareli kağıtta dik üçgenler çizerek veya uzunluk hesaplayarak bu sorunun cevabını (-4, 3) olarak bulabilirsiniz. Tabii çözmenin çok daha basit bir yolu var! A noktasını z = 3 + 4i olarak yazın ve bu sayıyı i ile çarpın. (3 + 4i)i = -4 + 3i sonucunu göreceksiniz. Elde ettiğimiz sonucun aynısı ve çok daha hızlı.

Bir sayıyı i ile çarpmak, onu 90° döndürmek demektir. i² 180° ediyor ve gerçekten de i² = -1. Bu bilgi verildikten sonra biraz sayısal hesapla:

olduğu ve bunun kendini tekrar ettiği görülecektir. Üssün 4’e bölümünden kalanına bakılır ve sonuç yukarıda verilendir. İşlem tıpkı bir saat gibi kendi etrafına sarılarak tekrar eder. Bunu sayısal işlemle kanıtlayabilir ve kullanabilirsiniz. Tabii 90° döndürme özelliği, sayısal olarak gözlemlediğimiz bu sonuca çok pratik bir görsel izlenim de katıyor: 4 tur döndürünce eski yerine geliyorsun!

i sayısı, mutlak değeri 1 ve argümanı π/2 olan bir kompleks sayıdır. Diğer kompleks sayılar da aynı mantıkla alan dönüşümü için kullanılabilir.

Kompleks Sayıların Polar Gösterimi

Kompleks sayıların mutlak değer ve argüman bilgisinden bahsettik. Peki, bunları bir sayı olarak nasıl yazarım?

Bunun için matematikteki çok faydalı başka bir fikre ihtiyacımız olacak. Matematikte birçok çeşit fonksiyon biliyoruz: polinomlar, trigonometrik fonksiyonlar, üslü (üstel) ve logaritmik fonksiyonlar… Sıklıkla, polinom fonksiyonlarının üzerinde çalışması en kolay fonksiyonlar olduğunu görüyoruz! Buna ek olarak, bazen aynı konsepti farklı biçimde ifade etmek bizi yeni fikirlere götürür. Bu sebeplerden ötürü kimi zaman polinom olmayan bir fonksiyonu bir polinom olarak yazma ihtiyacı duyarım. Böyle bir şey mümkün mü? Kimi fonksiyonlar için evet.

Mesela…
\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \frac{x^9}{9!} \text{(1)}
Eşitliği dikkatlice inceleyip sindirmeye çalışın. Sinüs fonksiyonu, sonsuza dek iki değer arasında kalan ve kendini tekrar eden bir fonksiyon. Polinomlar ise girdi sonsuza gittiğinde sonsuza gider. Henüz bu sebepten ötürü, sinüs fonksiyonunu bir polinom olarak yazmanın imkânsız olduğunu düşünebilirsiniz. Fakat sonsuza varmadan önce, belli bir x = a noktasının etrafında, öyle bir polinomum yazdığımızı düşünelim ki polinom sonuçları sinüs fonksiyonunun sonuçlarına mümkün olduğunca yakın olsun. Bunu polinomu eğip bükerek sağlayabilirim. Polinoma ne kadar fazla terim eklersem, yaklaşık hesabım o kadar doğru olur ve seçtiğim x = a noktasının o kadar uzağında hâlâ orijinal fonksiyonuma yakın sonuçlar verir. Polinom sonsuza gittiğinde ise fonksiyonumu sonsuz doğrulukta hesaplıyordur.

Bu polinoma, Taylor serisi denir. Taylor serileri fonksiyonun kendi hâlinde yapamayacağımız ama polinomlar üzerinde uygulayabileceğimiz işlemleri yapmamızı sağlar.

Bir başka örnek verelim.
\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \frac{x^8}{8!} \text{(2)}
Bu serilerin doğru olması için trigonometrik fonksiyonların girdileri radyan cinsinden olmalı. Denemek için x = 0 koyarak başlayın. 0 noktasında sinüsün 0, kosinüsün 1 olduğunu biliyoruz. Bu polinomumuzda da görülüyor. Yine sonucunu yakından bildiğimiz π/2 değerini polinomlarda test edebilirsiniz. Polinomun daha fazla terimini hesaba kattıkça istediğimiz 1 ve 0 sonuçlarına gittikçe yaklaşırız.

Bu polinomlara ilk başta ulaşmanın en doğal yolu türev kullanmak. Bir fonksiyonun türevi; bize o fonksiyonun nasıl davrandığını, girdisindeki minik değişimlere nasıl tepki verdiğini anlatır. Mesela bir fonksiyonun verilen bir değerdeki türevi pozitif ise bu fonksiyon o noktada artan özellik gösteriyordur. Yani girdisini arttırırsam çıktısı da artacak. Polinomlar, türevini alması en kolay olan fonksiyon ailelerindendir. Bir polinomun türevi gene bir polinomdur. Bir fonksiyonun Taylor serisini yazmak için o fonksiyonun “nasıl davrandığı” bilgisini türev ile elde ederim ve polinomumun da “aynı davranması” için aynı türeve sahip olan bir polinom yazarım.

Kalkülüste çok özel bir sayı ve çok özel bir fonksiyon vardır… Euler’in sayısı, e, ve ex fonksiyonu… İrrasyonel bir sayıdır ve e tabanlı üstel fonksiyona doğal üs, e tabanlı logaritmaya doğal logaritma denir. Matematikte doğallık bu kadar değer verdiğimiz, arayışında harap olduğumuz ve buldukça güzelliğine hayran kaldığımız bir konsept iken bir sayıya ‘doğal’ ünvanı yakıştırmanın ne kadar büyük bir övgü olduğunu hayal edebiliyorsunuzdur. Euler’in sayısı bu ünvanına yakışır bir şekilde matematikte sıklıkla karşımıza çıkar ve başka üstel veya logaritmik fonksiyonlarla çözmemizin mümkün olmadığı nice problemi çözmemizi sağlar.

Trigonometrik fonksiyonlarda olduğu gibi, ex fonksiyonunun da Taylor serisini yazmamız mümkündür.
e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} \text{(3)}
Doğal üstel fonksiyon hakkında hiçbir bilginiz olmadığını düşünün. Doğal kelimesini duymamış olsaydınız dahi verilen polinomun nizamı sizde bir doğallık hissiyatı çağrıştırmaz mıydı?

e sayısının değerini merak eden okuyucu, polinomu x = 1 için çözmeyi deneyebilir. Ne kadar terim kullanırsanız gerçek değere o kadar yaklaşırsınız. Seride ilerledikçe kullandığınız yeni terimler sayınızın baştaki basamaklarını değiştirmeyecek. Mesela ilk iki terimi kullanarak sayımın birler basamağının 2 olduğunu buluyorum. Sonradan eklediğim terimlerin hepsi 1’den küçük olduğu için 2 basamağı artık değişmiyor.

Biz kompleks sayılara dönelim. Bu Taylor serilerini vermemin sebebi neydi?

Üçüncü denklem için x yerine ix yazalım. i sayısı üssü alınınca dışarı i, -1, -i veya 1 olarak çıkacak ve sadece katsayıları değişmiş x cinsinden bir polinomla kalacağım. Çift kuvvetli terimlerde hayalî birim kalmayacak! Bu terimler sırayla 1 ve -1 ile çarpılacak. Tek kuvvetli terimlerde de aynı örüntü geçerli olacak. Hepsi hayalî birime sahip olacak ve yine bir pozitif, bir negatif katsayıyla ilerleyecekler.

Peki, bu çift ve tek kuvvetlerin değişken işaretlerle toplandığını nerede gördük?
e^{ix} = \cos x + i \sin x
Euler’in formülü; e sayısı, trigonometrik fonksiyonlar ve hayalî sayılar arasında bir ilişki kurmamızı sağlar. Bu formülün x = π özel durumunda aşağıdaki ilişkiyi elde ederiz:
e^{i\pi } = -1
Euler’in formülünde sağ taraf a + bi formunda bir kompleks sayı belirtir. x, radyan cinsinden bir açı, reel sayı olduğu için sinx ve cosx de reel sayılardır. Yazıyı okumayı bırakın. Sadece şu ana kadar söylenenleri hayal edin. Buraya kadar birlikte yol kat ettik ve şimdi sonuca birlikte varıyoruz.

Bir dik üçgen çizin. x açısına sahip köşesini orijine yerleştirin. Ne elde ettiniz?

Euler’in formülündeki yapı, x açısına sahip bir kompleks sayı veriyor. Bu kompleks sayının şu anki mutlak değeri 1’dir. İki tarafı da r ile çarparsak:
re^{ix} = r(\cos x + i \sin x)
İşte, kompleks sayıların polar gösterimi budur. re^iθ  sayısı, r mutlak değerine ve θ argümanına sahip bir kompleks sayıdır. 

Bu gösterimle iki kompleks sayıyı çarptığımızda ne olduğunu netlikle gözlemliyoruz. m, n, x ve y reel sayılar olmak üzere:
me^{ix}.ne^{iy} = (mn)e^{i(x+y)}
İki kompleks sayıyı çarpmak için bu sayıların mutlak değerlerini çarptık ve argümanlarını topladık.

Şimdi ise okuyucuya egzersiz zamanı! Sinüs ve kosinüs toplam formüllerini çıkarın. Sizden istediğimiz sin(x) ve sin(y) değerlerini biliyorsanız sin(x + y) değerine ulaşmanız. Aynı şekilde, cos(x + y) değerini cos(x) ve cos(y) cinsinden yazmanız. İyi eğlenceler! Cevap sonda.

Bitiş

Matematikte belki bir izlenim, bir hissiyat da bilgi kadar önemlidir. Sahi, matematik bilgisi nedir? Sözlük ezberler gibi terim tanımı ezberlemek desen değil. Daha fazla işlem yapmak desen değil. Matematik bilgisi, üzerinde çalıştığın soyut yapıyı anlamaktan gelir. Bilgi, o yapının işleyişi araştırıldıktan sonra elde edilen soyut bulgulardır. Bahsi geçen yapıyı, kütleçekimini ya da atomu gördüğün gibi göremezsin. Fakat o yapının nesnel özelliklerini öğrenir ve araştırırsın. Matematikte ilerlemek yalnızca o yapının işleyişiyle ilgili kavramları ve diğer yapılarla ilişkilerini takdir ederek mümkün. İnsanlık olarak matematik bilgisini dışarıdan almayız, bizden gelir. İzlenim ve hissiyat olmadan bilginin neden imkânsız olduğuna bir de buradan bakın.

Akademik yazılar okuyucuya yalnızca bilgi iletmekle kalmaz, bu bilginin formalize edilmiş ve tamamlanmış olmasına da özen gösterir. Akademinin dışında iletişim kuruyorsak içeriğe dair özgürlüğümüz daha fazla. Bu yazıdaki amacım bir konuyu kapsamlı bir şekilde sunmak ya da o konunun nasıl araştırılacağının eğitimini vermek değildi. Yalnızca izlenimleri ve hissiyatları aktarmaktı. Okurken hayallere dalabildiyseniz ne mutlu bana! Dilerseniz, bu konulara merak sarın ve bilgi edinmeye devam edin. Sahip olduğunuz hissiyat, bilgi edinmeniz için gereken temeli oluşturur ve elde ettiğiniz çok sayıda bilgi arasında köprü kurarak bilginin saklanmasını sağlar.

Gerçek şu ki matematik dünyası, daha genel olarak merak dünyası sonsuz derinliğe sahiptir ve hiçbir kaynak, hiç kimse size bu dünyanın küçük bir kısmını dahi tamamıyla sunamaz. Bilgi ileten bir yazı, sahip olduğu belli bir bilgi bünyesini okuyucuya aktarır fakat tek yaptığı bu değildir: Aynı zamanda okuyucuya gelecekteki keşifleri için destek ve ilham verir. Bilginin tabiatı gereği her bilgi diğer bilgiler için kavramsal içerik ve bağlantı noktası oluşturur. Bu sebeple bilgi ileten yazının bahsedilen özelliği, yazarın özel ilgisi olmadan dahi ortaya çıkar. Günün sonunda, bilgi ileten yazı bu iki yöne de sahiptir -ilettiği bilgi ve gelecekteki bilgiyle kurduğu ilişki- ve belli bir yazı, farklı fikirler ve öncelikler ışığında farklı yönlere gidebilir. Ek olarak merak dünyasının sonsuzluğu, fikir açısından yazarı bilgi iletmekle kalmayıp okuyucunun gelecekteki keşif yolculukları için de elinden tutmaya motive edebilir. Ben bu yazıyı hangi fikirlerin motive ettiği ve o fikirlerin ne kadar doğru uygulandığı konusunda takdiri okuyucuyu bırakıyorum. Başarılı olduğumu iddia edemem. Tek söyleyebileceğim, hepimiz aynı sonsuz merak dünyasını keşfetmeye çalışıyoruz ve hiçbirimiz yolun sonuna yaklaşmadık bile.

Bütün kalbimle; merakın içinizi ısıtan, zor zamanınızda mutluluk ve öz güven getiren, sizi alçak gönüllülüğe ve dolayısıyla sevgiye teşvik eden bir kuvvet olarak sonsuza dek hayatınızda var olmasını diliyorum. Kendinize dikkat edin. Okuduğunuz için teşekkür ederim.

3Blue1Brown kanalına yazıya ilham olduğu için teşekkür ederim.

Egzersiz
cos(x + y) = cosx . cosy – sinx . siny
sin(x + y) =  sinx . cosy + siny . cosx

Kaynakça

Kapak Fotoğrafı: GuntherTüretilmiş iş: Wereon – Bu dosya şu kaynaktan türetilmiştir: Euler’s formula.png:, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=821342